[andres_z]

Hola,

Sea \( T \) una relación. \( T^2 \) es simétrica \( \Longleftrightarrow{} T \) es simétrica

Es falso, pero no puedo encontrar una T que no sea simétrica que cumpla que \( T^2 \) sea simétrica.

A alguien se le ocurre? gracias!

[Luis Fuentes]

Hola

Sea \( T \) una relación. \( T^2 \) es simétrica \( \Longleftrightarrow{} T \) es simétrica

Es falso, pero no puedo encontrar una T que no sea simétrica que cumpla que \( T^2 \) sea simétrica.

Por ejemplo en \( X=\{a,b\} \) considera \( T=\{(a,a),(a,b)\} \).


OJO. Ese ejemplo no cumple que la composición sea simétrica. Más adelante doy otro que si (espero) es correcto.

Saludos.

CORREGIDO.

[andres_z]

Hola, gracias por responder

Por ejemplo en \( X=\{a,b\} \) considera \( T=\{(a,a),(a,b)\} \).

Saludos.

Con ese ejemplo \( T^2 \) no es simétrico.

\( T^2 = \begin{bmatrix}{1}&{1}\\{0}&{0}\end{bmatrix}\cdot{}\begin{bmatrix}{1}&{1}\\{0}&{0}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{1}&{1}\\{0}&{0}\end{bmatrix} \)

¿Sera que no estoy entendiendo bien?

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Hola, gracias por responder

Por ejemplo en \( X=\{a,b\} \) considera \( T=\{(a,a),(a,b)\} \).

Saludos.

Con ese ejemplo \( T^2 \) no es simétrico.

\( T^2 = \begin{bmatrix}{1}&{1}\\{0}&{0}\end{bmatrix}\cdot{}\begin{bmatrix}{1}&{1}\\{0}&{0}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{1}&{1}\\{0}&{0}\end{bmatrix} \)

¿Sera que no estoy entendiendo bien?

No, no. Fue fallo mío, perdona. Ese ejemplo no funciona. Toma en \( X=\{a,b,c,d\} \):

\( T=\{(a,c),(b,d),(c,b),(d,a)\} \)

Saludos.

[andres_z]

Hola,

No, no. Fue fallo mío, perdona. Ese ejemplo no funciona. Toma en \( X=\{a,b,c,d\} \):

\( T=\{(a,c),(b,d),(c,b),(d,a)\} \)

Saludos.

¡Gracias! ese ejemplo funciona, yo fui probando bastantes cosas pero no llegue a ese caso, es medio complicado "acertarle" 

Saludos

[luis]

otras dos posibilidades que se me ocurren...

una, tratando de construír una relación \( R \) asumiendo que \( R^2 \) es simétrica.

1. Supongamos que \( aR^2b \) y \( bR^2a \).
2. Considero otros dos objetos \( c, d \) tales que \( aRc, cRb, bRd \) y \( dRa \).
3. La relación \( \{(a,c),(c,b),(b,d),(d,a)\} \) es un contraejemplo.

la otra, tratando de construír una relación \( R \) asumiendo que \( R \) no es simétrica.
1. Supongamos que \( aRb \) y que no sucede \( bRa \).
2. La relación \( \{(a,b)\} \) es un contraejemplo. (ver que \( R^2 = \emptyset \))

saludos

luis

[andres_z]

Hola,

otras dos posibilidades que se me ocurren...

una, tratando de construír una relación \( R \) asumiendo que \( R^2 \) es simétrica.

1. Supongamos que \( aR^2b \) y \( bR^2a \).
2. Considero otros dos objetos \( c, d \) tales que \( aRc, cRb, bRd \) y \( dRa \).
3. La relación \( \{(a,c),(c,b),(b,d),(d,a)\} \) es un contraejemplo.

la otra, tratando de construír una relación \( R \) asumiendo que \( R \) no es simétrica.
1. Supongamos que \( aRb \) y que no sucede \( bRa \).
2. La relación \( \{(a,b)\} \) es un contraejemplo. (ver que \( R^2 = \emptyset \))

saludos

luis

Me he olvidado que el conjunto vacio es simétrico 

¡Muchas gracias por el ejemplo!

Saludos