[foxybcn]

Buenas,

En un problema tengo que resolver por inducción la siguiente desigualdad:\( \displaystyle\frac{1*3*5*...*(2n-1)}{2*4*6*...*(2n)}\leq{}\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{1+3n}}  \)

Por más que he mirado en internet cómo resolverlo, incluso videos de demostración de desigualdades, no consigo resolver esta. Todas las que he visto no se parecen en nada.

La verdad es que tiene un aspecto bastante fea la desigualdad.... Alguna ayudita 

[Juan Pablo Sancho]

Para \(  k=1  \) es cierta.

La supones cierta para \(  k = n \geq 1  \) tienes \(  \dfrac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot  \cdots \cdot (2n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot  \cdots \cdot (2n)} \leq \dfrac{1}{\sqrt{1+3n}}  \). 

Verifiquemos para \(  k = n+1  \)

\( {\displaystyle \dfrac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot  \cdots \cdot (2n-1) \cdot (2n+1) }{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot  \cdots \cdot (2n) \cdot (2n+2)} = \dfrac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot  \cdots \cdot (2n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot  \cdots \cdot (2n)} \cdot \dfrac{2n+1}{2n+2} \leq \dfrac{1}{\sqrt{1+3n}} \cdot \dfrac{2n+1}{2n+2}}  \)



\( {\displaystyle \dfrac{1}{\sqrt{1+3n}} \cdot \dfrac{2n+1}{2n+2} = \dfrac{1}{\sqrt{1+3n}} \cdot \dfrac{2n+1}{2n+2} \cdot \dfrac{\sqrt{1+3 \cdot (n+1)}}{\sqrt{1+3 \cdot (n+1)}} = \dfrac{\sqrt{1+3 \cdot (n+1)}}{\sqrt{1+3n}} \cdot \dfrac{2n+1}{2n+2} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{1+3 \cdot (n+1)}}}  \)


Intenta demostrar:

\( \displaystyle \dfrac{\sqrt{1+3 \cdot (n+1)}}{\sqrt{1+3n}} \cdot \dfrac{2n+1}{2n+2} \leq 1  \)

Eleva al cuadrado y haz cuentas.

Editado

Mira el spoiler sólo si no te sale:

Spoiler

\( \displaystyle \dfrac{\sqrt{1+3 \cdot (n+1)}}{\sqrt{1+3n}} \cdot \dfrac{2n+1}{2n+2} \triangle 1  \) multiplico por \( \displaystyle \sqrt{1+3n} \cdot (2n+2) > 0  \) queda:

\( \displaystyle \sqrt{1+3 \cdot (n+1)} \cdot (2n+1) \triangle \sqrt{1+3n} \cdot (2n+2)  \)   elevo al cuadrado:

\( \displaystyle (1+3 \cdot (n+1)) \cdot (2n+1)^2 \triangle (1+3n) \cdot (2n+2)^2  \)   expando la expresión.

\( \displaystyle 12 \cdot n^3 + 28 \cdot n^2 + 19 \cdot n + 4 \triangle 12 \cdot n^3 + 28 \cdot n^2 + 20 \cdot n + 4  \)

\( \displaystyle 12 \cdot n^3 + 28 \cdot n^2 + 19 \cdot n + 4 \triangle 12 \cdot n^3 + 28 \cdot n^2 + 19 \cdot n + n + 4  \)

\( \displaystyle \cancel{12 \cdot n^3} + \cancel{28 \cdot n^2} + \cancel{19 \cdot n} + \cancel{4} \triangle \cancel{12 \cdot n^3} + \cancel{28 \cdot n^2} + \cancel{19 \cdot n} + n + \cancel{4}  \)

\(  0 \triangle n  \) entonces para todo \(  n \in \mathbb{N}  \)   tenemos:

\( \displaystyle \dfrac{\sqrt{1+3 \cdot (n+1)}}{\sqrt{1+3n}} \cdot \dfrac{2n+1}{2n+2} < 1  \)

Pongo \( \triangle  \) por que en un principio no sé en que sentido pueda estar la desigualdad.

[cerrar]

[foxybcn]

Para \(  k=1  \) es cierta.

La supones cierta para \(  k = n \geq 1  \) tienes \(  \dfrac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot  \cdots \cdot (2n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot  \cdots \cdot (2n)} \leq \dfrac{1}{\sqrt{1+3n}}  \). 

Verifiquemos para \(  k = n+1  \)

\( {\displaystyle \dfrac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot  \cdots \cdot (2n-1) \cdot (2n+1) }{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot  \cdots \cdot (2n) \cdot (2n+2)} = \dfrac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot  \cdots \cdot (2n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot  \cdots \cdot (2n)} \cdot \dfrac{2n+1}{2n+2} \leq \dfrac{1}{\sqrt{1+3n}} \cdot \dfrac{2n+1}{2n+2}}  \)



\( {\displaystyle \dfrac{1}{\sqrt{1+3n}} \cdot \dfrac{2n+1}{2n+2} = \dfrac{1}{\sqrt{1+3n}} \cdot \dfrac{2n+1}{2n+2} \cdot \dfrac{\sqrt{1+3 \cdot (n+1)}}{\sqrt{1+3 \cdot (n+1)}} = \dfrac{\sqrt{1+3 \cdot (n+1)}}{\sqrt{1+3n}} \cdot \dfrac{2n+1}{2n+2} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{1+3 \cdot (n+1)}}}  \)


Intenta demostrar:

\( \displaystyle \dfrac{\sqrt{1+3 \cdot (n+1)}}{\sqrt{1+3n}} \cdot \dfrac{2n+1}{2n+2} \leq 1  \)

Eleva al cuadrado y haz cuentas.

Gracias por la respuesta!!! este problema me tenía de los nervios  . Voy a hacer lo que dices y os cuento!

[foxybcn]

Buenas Juan Pablo

Hay algo que no entiendo.

Esto lo entiendo bien,
\( { = \dfrac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot  \cdots \cdot (2n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot  \cdots \cdot (2n)} \cdot \dfrac{2n+1}{2n+2} \leq \dfrac{1}{\sqrt{1+3n}} \cdot \dfrac{2n+1}{2n+2}}  \)

Pero no entiendo como haces el paso a lo siguiente:

\( {\displaystyle \dfrac{1}{\sqrt{1+3n}} \cdot \dfrac{2n+1}{2n+2} = \dfrac{1}{\sqrt{1+3n}} \cdot \dfrac{2n+1}{2n+2} \cdot \dfrac{\sqrt{1+3 \cdot (n+1)}}{\sqrt{1+3 \cdot (n+1)}}}  \)

Gracias!

[Luis Fuentes]

Hola

Buenas Juan Pablo

Hay algo que no entiendo.

Esto lo entiendo bien,
\( { = \dfrac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot  \cdots \cdot (2n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot  \cdots \cdot (2n)} \cdot \dfrac{2n+1}{2n+2} \leq \dfrac{1}{\sqrt{1+3n}} \cdot \dfrac{2n+1}{2n+2}}  \)

Pero no entiendo como haces el paso a lo siguiente:

\( {\displaystyle \dfrac{1}{\sqrt{1+3n}} \cdot \dfrac{2n+1}{2n+2} = \dfrac{1}{\sqrt{1+3n}} \cdot \dfrac{2n+1}{2n+2} \cdot \dfrac{\sqrt{1+3 \cdot (n+1)}}{\sqrt{1+3 \cdot (n+1)}}}  \)

Simplemente multiplica y divide por \( \sqrt{1+3 \cdot (n+1)} \) para hacer aparecer a la cota que predice nuestra tesis y que queremos probar.

Saludos.