Hola
Sean \( P_1 ,..., P_s \in{} \mathbb{A} \). ¿Cómo puedo demostrar que \( <P_1,...,P_s>=P_1+L[\overrightarrow{P_1 P_2},...,\overrightarrow{P_1 P_s}] \)?
Para enfocar la demostración de la forma que te convenga habría que saber como te han deinido \( <P_1,...,P_s> \). Hay varias formas equivalentes de hacerlo. Supondré que la definicón dada es: la subvariedad afín definida por un conjunto es la menor variedad afín que lo contiene.
Entonces si llamamos \( F=P_1+L[\overrightarrow{P_1 P_2},...,\overrightarrow{P_1 P_s}] \) tienes que probar:
1) Que \( F \) es una subvariedad afín, lo cuál es inmediato por definición (es un punto más un subespacio vectorial).
2) Que \( F \) contiene a los puntos \( P_i \). Pero basta tener en cuenta que \( P_i=P_1+\overrightarrow{P_1P_i}. \)
3) Que si \( G \) es una subvariedad afín conteniendo a los puntos \( P_i \), entonces \( F\subset G \).
Pero si \( G=A+U \), con \( U \) subespacio vectorial, \( P_i\in G \) quieres decir que \( P_i=A+\vec u_i \) para algún \( \vec u_i\in U \), es decir, \( \overrightarrow{AP_i}=\vec u_i\in U \).
Entonces:
\( \overrightarrow{P_1P_i}=\overrightarrrow{P_1A}+\overrightarrrow{AP_i}=-\overrightarrrow{AP_1}+\overrightarrrow{AP_i}\in U. \)
Saludos.
