[Garabato]

Hola. ¿Me pueden dar una mano con el siguiente ejercicio por favor?

Dada una línea en E3 como el corte de dos superficies:

S1: \( x^2 + y^2 +z^2 -1=0 \)

S2: \( 2x^2 + 2z^2 -3y =0 \)

Hallar una forma paramétrica de la línea.


Puedo decir, por ejemplo, que x=t. Y ya tengo un parámetro. ¿Y luego? No puedo despejar a las otras variables en función de ese solo parámetro, por lo que tendría que escoger otro (digamos y=u). 

Pero al hacer eso me quedarían dos opciones posibles para despejar z en función de los parámetros, ¿cual pongo?


Aquí hay un ejercicio parecido, pero creo que es mas fácil. Voy a utilizarlo de ejemplo para explicar la forma en como pienso que se resuelven estos problemas. Ustedes me dirán si está bueno o no 

Sea L la línea dada implícitamente por

S1: \( x^2 - y^2 +z^2 =0 \)

S2: x + z=0

Hallar una forma paramétrica de la línea.

Entonces puedo expresar fácilmente x en función de z. x=-z

Luego puedo decir que x=t. Y ese será mi parámetro. Entonces z=-t.

Ahora puedo despejar y en función de t, y ya es muy fácil:

La ecuación paramétrica es:

\( x=t \)

\( y=\sqrt[ ]{(2t^2)} \)

\( z=-t \)

¿Está bien ? ¿Como puedo aplicar el mismo procedimiento al otro ejercicio?

Gracias!

PD: ¿Alguien tiene por casualidad un tutorial de líneas en el espacio? ¿O me puede recomendar el capítulo de algún libro que trate el tema? El libro que uso explica esa parte de una manera muy mediocre.

[Jabato]

Puedes operar de muchas formas pero esta te lleva a la solución de una forma muy rápida:

s1: \( 2x^2 + 2y^2 +2z^2-2=0 \)

s2: \( 2x^2+2z^2-3y=0 \)

Restando la segunda de la primera tienes que:

\( 2y^2+3y-2=0 \)

que te indica que y toma alguno de dos valores constantes {-2, 1/2) y que no depende por tanto de ningún parámetro.

Una vez aclarado esto asignas uno de los valores de y a cualquiera de las dos ecuaciones y obtienes unas paramétricas haciendo \( x = t \), lo que ya es muy fácil.

Ambas ecuaciones se convierten en la misma al substituir uno cualquiera de los valores de y:

Para y = -2     \( x^2+z^2+3=0  \)      que es el conjunto vacío, ya que no tiene soluciones reales[/center]

Para y = 1/2     \( x^2+z^2-3/4=0  \)  que es una circunferencia en el plano XZ

Solo tienes que hacer ahora \( x = t \) y despejar z de la segunda con lo que:

\( x = t,\ y = 1/2,\ z =\sqrt[ ]{3/4 - t^2} \)

y listo.

Saludos, Jabato.

[Garabato]

Muchas gracias! Había hecho lo mismo, pero pensé que lo tenía malo cuando \( y \) me dio constante 

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

 La parametrización de la circunferencia utilizando la raiz cuadrada es en "dos trozos" uno tomando el valor positivo de la raíz y otro el negativo.

 Si quieres una parametrización global, puedes usar las típicas coordenadas polares. En tu caso:

\(  x= \sqrt{3/4} cos(t) \)

\(  y= 1/2 \)

\(  z= \sqrt{3/4} sin(t) \)

 Fíjate que en realidad el proceso para obtener una ecuación paramétrica de la intersección siempre es el mismo.
 
 Utilizando las dos ecuaciones (despejando en una y sustituyendo en otra , por ejemplo) obtienes una relación entre dos de las variables. Eso te permite poner una en función de la otra. Y con una de las dos ecuaciones la tercera también en función de la misma.

 Entonces tienes las tres variables en función de una de ellas que será el parámetro.

 Fíjate que puede ocurrir que las superificies se corten en trozos separados (curvas no conexas), por eso no debe de sorprenderte que en un momento dado tengas que estudiar varias expresiones o valores distintos para una de las variables.

 Por otra parte, resolver un sistema de dos ecuaciones no lineales, no tiene porque ser nada sencillo, luego en general, es probable que las cuentas se compliquen o se hagan incluso imposibles.

 Finalmente, si es posible, es bueno tener una idea geométrica de las superifices que intersecas. En tu caso se trata de dos cuádricas. En concreto una esfera de radio 1 centrada en el origen y un paraboloide (una antena parabólica  ) de eje la recta x=0, z=0. Es fácil imaginar que ambas han de cortarse en una circunferencia.

Saludos.

[Garabato]

Muchas gracias por la explicación