Sea el trapecio ABCD, O y O’ los centros de las circunferencias inscrita y circunscrita.
Si hay una circunferencia circunscrita, por ser AB y DC cuerdas paralelas, los arcos AD y BC son iguales, por lo que serán también iguales sus cuerdas respectivas AD y BC; por tanto el trapecio es
isósceles.
Si hay una circunferencia inscrita, esto es, el trapecio es circunscriptible, se verifica que la suma de dos lados opuestos es igual a la suma de los otros dos: AB+DC=AD+BC.
Como el trapecio es isósceles, AB+DC=2AC ==> AD=(AD+DC)/2=(b+b')/2
Por otra parte, DE=(DC-AB)/2=(b-b')/2
Aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo AED:
\( AE^2=AD^2-DE^2=(\displaystyle\frac{b+b'}{2})^2-(\displaystyle\frac{b-b'}{2})^2 \)
Por tanto \( AE=\sqrt[ ]{bb'} \)
