[cristhiam]

Hola, ayuda problema de Programación lineal:

En una pastelería se fabrican dos tipos de bombones, los normales y los amargos. Cada bombón normal lleva 20g. de cacao, 20g. de nata y 20g. de azúcar y se venden a 0,75 $. Cada bombón amargo lleva 100g. de cacao, 20g. de nata y 10g. de azúcar y se venden a 2 $. En la pastelería disponen de 30 kg. de cacao, 8 kg. de nata y 7 kg. de azúcar. Determinar cuantos bombones de cada tipo deben fabricar para maximizar las ganancias teniendo en cuenta que venden toda la producción.

[Luis Fuentes]

Hola

Hola, ayuda problema de Programación lineal:

En una pastelería se fabrican dos tipos de bombones, los normales y los amargos. Cada bombón normal lleva 20g. de cacao, 20g. de nata y 20g. de azúcar y se venden a 0,75 $. Cada bombón amargo lleva 100g. de cacao, 20g. de nata y 10g. de azúcar y se venden a 2 $. En la pastelería disponen de 30 kg. de cacao, 8 kg. de nata y 7 kg. de azúcar. Determinar cuantos bombones de cada tipo deben fabricar para maximizar las ganancias teniendo en cuenta que venden toda la producción.

Si llamas \( n \) y \( a \) respectivamente a la cantidad de bombones normales y amargos que se fabricante tienes la siguientes restricciones.

Respecto a la cantidad de cacao: \( 20n+100a\leq 30000 \).

Respecto a la cantidad de nata: \( 20n+20a\leq 8000 \).

Respecto a la cantidad de azúcar: \( 20n+10a\leq 7000 \).

Además tienes las condiciones obvias  \( a,n\geq 0 \).

La función a maximizar es:

\( f(n,a)=0.75n+2a \)

Con esto intenta resolver el problema.

Saludos.

[cristhiam]

gracias el_manco por la ayuda.

primero las variables las he cambiado:
\( a \) por \( x \)
\( n \) por \( y \)

disculpa, me confunde trabajar con otras letras 

..continuando con el problema, he graficado en Geogebra para encontrar la región factible(imagen anexada):


veo que automaticamente el programa me muestra los vertices de la region factible (A,B,C) me decidi hallar los vertices algebraicamente(no se si es necesario esto) y obtuve en algunos casos aproximaciones:

\(  \begin{cases}20y + 20x = 8000 \\ 20y +10x = 7000\\ \end{cases}\to \text{(restando)}\text 10x=1000 \to x=1000/10 \to x=100  \)

\( \begin{cases}20y + 20x = 8000 \\ 20y +10x = 7000\\ \end{cases}\to \text{(sumando)}\text 40y +30x=15000 \to 40y +30(100)=15000 \to 40y=15000 -3000 \to y=12000/40 \to y=300 \)

==== vertice A(100;300)====


\(  \left\{ \begin{array}{c} 20y + 100x = 30000 \\ 20y +10x = 7000\\ \end{array}\right \to (restando)90x=23000 \to x=23000/90 \to x=256  \)

\(  \left\{ \begin{array}{c} 20y + 100x = 30000 \\ 20y +10x = 7000\\ \end{array}\right \to (sumando)40y +110x=37000 \to 40y +110(256)=37000 \to 40y=37000 -28160 \to y=8840/40 \to y=221

 \)
==== vertice B(256;221)====


\(  \left\{ \begin{array}{c} 20y + 100x = 30000 \\ 20y +20x = 8000\\ \end{array}\right \to (restando)80x=22000 \to x=22000/80 \to x=275  \)

\(  \left\{ \begin{array}{c} 20y + 100x = 30000 \\ 20y +20x = 8000\\ \end{array}\right \to (sumando)40y +120x=38000 \to 40y +120(275)=38000 \to 40y=38000 -33000 \to y=5000/40 \to y=125

 \)
==== vertice C(275;125)====

esta bien hasta aquí?
y para continuar con el siguiente paso(el maximo beneficio) no se que vertices tomar si los de la grafica(algunos con decimales) o los vertices que he obtenido(en los procesos algebraicos) por ejemplo: en la grafica me muestra el vertice B\( (255,64; 222,24) \)  mientras que haciendo el proceso algebraico obtengo una aproximacion del vertice B\( (256;221) \)