[Nachel]

Hola estoy desesperado con este problema, no sé por donde pillarlo si alguien me puede echar una mano, o darme un enlace de alguna página donde haya algo parecido se lo agradeceré eternamente, ahí va:

La ciudad A tiene forma circular de radio \( r_0 \), dicha ciudad tiene un gran número de calles radiales (del centro de la ciudad a la circunferencia) y circulares. En la ciudad se encuentra patrullando, de forma permanente, una ambulancia. Cuando ocurre un accidente, en un punto aleatorio \( (R_1,\alpha_1) \) (donde R es la distancia al centro y \( \alpha \) es el ángulo que forma con un eje horizontal), la ambulancia, que se encuentra en otro punto aleatorio \( (R_2,\alpha_2) \), independiente del anterior, es avisada y acude a atenderlo.
La forma de viajar de un punto más alejado del centro a uno más interior es la siguiente: en primer lugar, a lo largo de una calle radial hasta la carretera circular en la que esta el punto interior y luego se alcanza este punto siguiendo la calle circular en el sentido que sea más corto llegar a ese punto.
La forma de viajar de un punto interior a un punto exterior es la misma, pero en orden contrario.
(i) Si D es la distancia que recorre la ambulancia para atender el accidente, calcula E[D] (esperanza).
(ii) Lo mismo si a la ambulancia se le permite además ir a través del centro, es decir, ir de donde está al centro y de allí al accidente (elegirá la forma de desplazarse más corta en cada situación).

[Luis Fuentes]

Hola

 1) Ten en en cuenta que para el desplazamiento circular sólo nos importa la diferencia entre el ángulo inicial y el final. Podemos suponer entonces que el inicial es siempre \( \alpha_1=0 \).

 Entonces tenemos tres variables independientes \( (R_1,R_2,\alpha_2) \) uniformemente distribuidas en:

\( [0,r_0]\times [0,r_0]\times [-\pi,\pi] \)

 La función de densidad es por tanto:

\( f(R_1,R_2,\alpha_2)=\displaystyle\frac{1}{2\pi r_0^2} \)

 La distancia que tiene que recorrer es:

\( d(R_1,R_2,\alpha)=|R_2-R_1|+|\alpha|min(R_2,R_1) \)

 Por tanto la esperanza será:

\( \displaystyle\frac{1}{2\pi r_0^2}\displaystyle\int_{0}^{r_0}\displaystyle\int_{0}^{r_0}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}(|R_2-R_1|+|\alpha|min(R_2,R_1))d\alpha d R_1d R_2 \)

o equivalentemente:

\( \displaystyle\frac{1}{\pi r_0^2}\displaystyle\int_{0}^{r_0}\displaystyle\int_{0}^{r_0}\displaystyle\int_{0}^{\pi}(|R_2-R_1|+\alpha min(R_2,R_1))d\alpha dR_1dR_2 \)

 2) Es parecido pero la distancia es:

\( d(R_1,R_2,\alpha)=min(|R_2-R_1|+|\alpha|min(R_2,R_1),R_1+R_2) \)

Saludos.

[Nachel]

Eres un genio amigo,muchisimas gracias en serio.
Un saludo.

[Nachel]

Una duda mas,en el primer caso como se podria calcular la integral del minimo(R1,R2) y no habria que hacerlo en este caso de la resta,es decir, dle minimo|R1-R2|
Gracias por anticipado

[Luis Fuentes]

Hola

\(  \displaystyle\int_{0}^{r_0}\displaystyle\int_{0}^{r_0}min(R_1,R_2)dR_1dR_2=
 \displaystyle\int_{0}^{r_0}\displaystyle\int_{0}^{R_2}R_1dR_1dR_2+ \displaystyle\int_{0}^{r_0}\displaystyle\int_{R_2}^{r_0}R_2dR_1dR_2 \)

En cuanto a tu seguda pregunta, no se si la entiendo muy bien. El término \( |R_2-R_1|  \) simplemente es la longitud del tramo radial del recorrido que hace la ambulancia. Ya está tomado en valor absoluto, de manera que da igual cual de los dos radios es mayor.

Saludos.

[Nachel]

Hola,sigo dandole vueltas a este problemas,digamos que el apartado uno ya lo tengo controlado, y la verdad el_manco es que eres un figura,pero una ultima duda mas,soy incapaz de hacer la integral de la distancia del segundo apartado,en concreto por el minimo de esas dos cosas, ¿como se integra?Muchas gracias

[Luis Fuentes]

Hola

 Si suponemos \( R_2\geq R_1 \)  las dos expresiones a comparar son:

 \( R_2-R_1+\alpha R_1 \)    y     \( R_1+R_2 \)

 Pero:

\(  R_2-R_1+\alpha R_1\leq R_1+R_2 \qquad \Longleftrightarrow{} \qquad \alpha \leq 2 \)

 Idem si \( R_1\geq R_2 \). Por tanto tu integral queda:

\(  \displaystyle\frac{1}{\pi r_0^2}\left({\displaystyle\int_{0}^{r_0}\displaystyle\int_{0}^{r_0}\displaystyle\int_{0}^{2}(|R_2-R_1|+\alpha min(R_1,R_2)) d\alpha d R_1 dR_2+\displaystyle\int_{0}^{r_0}\displaystyle\int_{0}^{r_0}\displaystyle\int_{2}^{\pi} (R_1+R_2 )d\alpha d R_1 dR_2}\right) \)

Saludos.

[Nachel]

Muchas gracias,pues esta tarde he echo algo parecido y tambien me salia el angulo o mayor o igual o menor que 2,tu confirmacion me deja mucho mas tranquilo.
Un saludo y muchisimas gracias por todo.