1º Los triángulos DAB y CAB tienen la base común, AB, y la misma altura, h; luego son equivalentes. Si de ambos triángulos restamos el triángulo AEB, resultan respectivamente los triángulos AED y BEC, que serán equivalentes.
2º Si del triángulo ADC restamos el triángulo DEC y del triángulo ABC restamos el AEB, resultan respectivamente los triángulos AED y BEC, que son equivalentes.
DC.h/2-S=AB.h/2.S' ==> (DC-AB)h/2=S-S' (1)
Los triángulos DEC y AEB son semejantes, por lo que la razón de sus áreas es igual al cuadrado de la razón de semejanza:
\( \frac{S}{S'}=\frac{DC^2}{AB^2}\Rightarrow\frac{\sqrt{S}}{\sqrt{S'}}=\frac{DC}{AB}} \)
Por una conocida propiedad de las proporciones, de la anterior se deduce:
\( \frac{\sqrt{S}+\sqrt{S'}}{\sqrt{S}-\sqrt{S'}}=\frac{DC+AB}{DC-AB} \) (2)
El área del trapecio vale \( \frac{1}{2}(DC+AB)h \).
Teniendo en cuenta (1) y (2):
\( \frac{1}{2}(DC+AB)h=\frac{1}{2}(DC-AB)\frac{\sqrt{S}+\sqrt{S'}}{\sqrt{S}-\sqrt{S'}}h \)
Operando y tal, creo que se obtiene:
\( (\sqrt{S}+\sqrt{S'})^2 \)
