[Michel]

En un cuadrilátero inscriptible ABCD, áng DAB = a, áng ABC = b, áng BKC =c, siendo K el punto de intersección de las diagonales.
Hallar el ángulo ACD.

[poolnikov]

Hola,



Teniendo en cuenta que tenemos ángulos inscritos en una circunferencia y que esos ángulos serán iguales cuando abarquen el mismo arco, plantearemos una serie de identidades:

En el triángulo KDC la suma de sus tres ángulos será 180: \( \alpha+(\pi-c)+(a-\beta)=\pi \Rightarrow{}\alpha=c-a+\beta \)

En el triángulo ADC haciendo igual que antes: \( b+\beta+\alpha=\pi \Rightarrow{} \alpha=\pi-b-\beta \)

Resolviendo el sistema formado por las dos ecuaciones anteriores obtendremos que el ángulo buscado será:

\( \alpha=\displaystyle\frac{\pi+c-b-a}{2} \)

Saludos.

[Michel]

Hola.

En el triángulo ADK haciendo igual que antes: \( b+\beta+\alpha=\pi \Rightarrow{} \alpha=\pi-b-\beta \)

No veo que de ese triángulo se obtenga esa igualdad.

Yo obtengo como solución del problema: áng ACD = (b+c-a)/2

Saludos

[poolnikov]

Hola.

En el triángulo ADK haciendo igual que antes: \( b+\beta+\alpha=\pi \Rightarrow{} \alpha=\pi-b-\beta \)

No veo que de ese triángulo se obtenga esa igualdad.

Perdón, no es del triángulo ADK del que sale esa igualdad, sino del triángulo ADC.

Voy a editar y corregir el mensaje inicial.

Saludos

[Michel]

Por ser ángulos inscritos áng ACD=(arc AD)/2

áng ADB=a=(arc BC+arc CD)/2   ==>   arc BC+arc CD=2a    (1)

áng ABC=b=(arc CD+arc AD)/2   ==>   arc CD+arc AD=2b    (2)

Por ser ángulo interior:

áng BKC=c=(arc BC+arc AD)/2    ==>   arc BC+arc AD=2c    (3)

Si de la suma de (2) y (3) restamos (1): 2arc AD=2b+2c-2a   ==>   arc AD=b+c-a

Por tanto, áng ACD=(b+c-a)/2


Un poco largo, pero...