[Michel]

Lugar geométrico de los centros de las circunferencias de radio r, que determinan una cuerda de longitud m al cortarse con una circunferencia dada.

[poolnikov]

Hola,

El lugar geométrico buscado es una circunferencia. Bueno en realidad existen dos circunferencias, una exterior a la circunferencia dada y otra interior a la circunferencia dada.

Sea \( R  \) el radio de la circunferencia dada inicialmente y llamemos a su centro \( O \).
Sea \( P \) el centro de las circunferencias de radio \( r \) que determinan una cuerda de longitud \( m \).

El problema es encontrar la distancia \( OP \).

Llamemos \( a \) a la distancia entre el centro \( O \) de la circunferencia dada y la cuerda de longitud \( m \).
Llamemos \( b \) a la distancia entre el centro \( P \) de las circunferencias de radio \( r \) que determinan una cuerda \( m \) con la circunferencia inicial.

Con ayuda del teorema de Pitágoras, podremos escribir:

\( a^2+(\displaystyle\frac{m}{2})^2=R^2 \Rightarrow{} a=\sqrt{R^2-(\displaystyle\frac{m}{2})^2} \)
\( b^2+(\displaystyle\frac{m}{2})^2=r^2 \Rightarrow{} b=\sqrt{r^2-(\displaystyle\frac{m}{2})^2} \)

Luego el lugar geométrico de las circunferencias exteriores, tendrán centro en \( O \) y radio \( a+b \).
Las circunferencias interiores tendrán centro en \( O \) y radio \( a-b \).

Bueno, solamente me falta un dibujo.

Saludos.

[Michel]

Sea la circunferencia  c de centro O y AB una cuerda de longitud m.

En la perpendicular a AB por O, tomamos los puntos P y P’, tales que AP = AP’ = r. (Puede haber dos puntos, uno o ninguno).

Con centros en P y P’, y radio r construimos sendas circunferencias, que cortan a la dada según la cuerda AB.

Entonces el lugar pedido está formado por las circunferencias concéntricas con la c y radios respectivos OP y OP’ (habrá dos circunferencias, una o ninguna, según los puntos anteriores).