[Artichoke]

Una pregunta muy sencilla y que sin embargo me está quitando el sueño: ¿qué tiene más puntos, una recta (infinita) o una superficie finita?, ¿Una superficie infinita o un cuerpo 3D finito?... ¿un espacio de n dimensiones completo o una parte acotada de uno de n+1 dimensiones? Agradecería una respuesta con demostración o un ejemplo intuitivo.

[Tanius]

Todos esos conjuntos tienen la cardinalidad del conjunto \( \mathbb{R} \). Por ejemplo:

Una pregunta muy sencilla y que sin embargo me está quitando el sueño: ¿que tiene más puntos, una recta (infinita) o una superficie finita?

Dados dos puntos \( x,y\in\mathbb{R}^2 \), la función \( \sigma:[0,1]\to\mathbb{R}^2 \) dada por \( \sigma(t)=tx+(1-t)y \) es una biyección entre el intervalo \( [0,1] \) y el segmento de recta que uno los puntos \( x \) y \( y \). Debido a que el intervalo \( [0,1] \) tiene la cardinalidad de \( \mathbb{R} \), entonces el segmento de recta también tiene esa cardinalidad. Luego, resulta obvio que cualquier recta (o lo que tú llamas recta infinita) tiene cardinalidad mayor o igual que la de \( \mathbb{R} \), pero dicha recta es a su vez un subconjunto de \( \mathbb{R}^2 \), y este último tiene la cardinalidad \( \mathbb{R} \).

Hay que notar que en lo anterior se usó el Teorema de Cantor-Bernstein, para mayor rapidez. De una forma similar se puede demostrar que una superficie tiene la cardinalidad de \( \mathbb{R} \).

[Luis Fuentes]

Hola

Dados dos puntos \( x,y\in\mathbb{R}^2 \), la función \( \sigma:[0,1]\to\mathbb{R}^2 \) dada por \( \sigma(t)=tx+(1-t)y \) es una biyección entre el intervalo \( [0,1] \) y el segmento de recta que uno los puntos \( x \) y \( y \). Debido a que el intervalo \( [0,1] \) tiene la cardinalidad de \( \mathbb{R} \), entonces el segmento de recta también tiene esa cardinalidad. Luego, resulta obvio que cualquier recta (o lo que tú llamas recta infinita) tiene cardinalidad mayor o igual que la de \( \mathbb{R} \), pero dicha recta es a su vez un subconjunto de \( \mathbb{R}^2 \), y este último tiene la cardinalidad \( \mathbb{R} \).

Estoy de acuerdo con lo dicho por Tanius, pero me parece que ha detallado lo más inuitivo, que un segmento que une dos puntos tiene la misma cardinalidad que una recta.. y ha pasado por encima de lo más chocante (en rojo): que \( R^2 \) tenga la misma cardinalidad que \( R \).

Una forma de explicitar esto último es definir la aplicación:

\( f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}^2 \)

que lleva un número \( n \) en un par formado por las cifras de \( n \) en posición par y otro por las cifras de n en posición impar. Por ejemplo:

\( f(\color{red}2\color{black}3\color{red}4\color{black}.2\color{red}1\color{black}9\color{red}2\color{black}3)=(\color{red}24.12\color{black},3.293) \)

que es claramente sobreyectiva.

Saludos.