[capricho]

Hola a todos.
Dados dos puntos A y B en la circunferencia (O). Encontrar un punto P en ella, tal que al
unirlo con A y B corte al diámetro d en M y N respectivamente equidistantes del centro O.


¿Alguien puede ofrecer una demostración geométrica o al menos algún teorema o propiedad que pueda aplicarse?
Primeramente muestro la solución a dicho problema pero no veo el modo de demostrarlo.
En segundo lugar muestro el mismo problema pero cambio el diámetro d por una secante cualquiera r a la circunferencia; también funciona.
Gracias.

[robinlambada]

¡Hola!.

En segundo lugar muestro el mismo problema pero cambio el diámetro d por una secante cualquiera r a la circunferencia; también funciona.
Gracias.

Disculpa pero yo en el segundo dibujo, no veo claro por que M y N equidistan de O ( el centro).
Saludos.

[capricho]

Hola.
He resuelto éste ejercicio por lugares geométricos de forma intuitiva, pero de eso se trata, de
demostrar geométricamente que son equidistantes al centro de la circunferencia o bien equidistantes al punto medio de la cuerda producida (da lo mismo) . De hecho hay 2 soluciones en éste caso, ya que existen 2 puntos de tangencia T; sólo muestro uno.
El lugar geométrico "descubierto a mi manera" que he empleado pero que queda por demostrar geométricamente sería el siguiente:
Dado el punto P fijo en la circunferencia de centro O, dos puntos cualquiera M y N (en una recta r secante) equidistantes
del centro. Las rectas PM y PN cortan a la circunferencia en A y B respectivamente.
Se cumple que la recta por AB corta a la secante r en un punto fijo C.
Siempre C va a tener la misma potencia respecto a la circunferencia dada.
Gracias por tu interés .
Saludos

[robinlambada]

Gracias a tí por plantear problemas interesantes, en cuanto tenga algo de tiempo lo voy a intentar resolver por ambos métodos, (analíticamente y geometricamente ) a no ser que Michel que es un gran geometra lo resuelva antes.
Saludos.

[capricho]

Hola.
He estado dándole algunas vueltas y ya me lo puedo demostrar a mí mismo y creo que al resto,   
la circunferencia roja es el lugar geométrico de los puntos medios de las cuerdas formadas por secantes a la circunferencia dada a partir del punto C. Es sencillo demostrarlo.
También se puede deducir (sin grandes complicaciones) por arcos capaces, que los triángulos TR1 y TR2 (y su mediana) son SEMEJANTES para cualquier secante similar a r trazada desde C.
Imagino que habrá otras maneras de demostrar el problema.
Gracias!

He añadido otra imagen QUE aclara un poco más la demostración.
y otra solución más que imagino se podrán aplicar los mismos conceptos para su justificación.