Hola, escribí la misma conclusión de hace unos años pero formalmente y por medio de una aproximación diferente. Saludos
Hola,
$$n\to 3n+1$$ no es una operación aditiva, es una transformación afín. Y $$n\to n/2$$ no es simplemente un "operador multiplicativo". Sería más sencillo definir algo como:
\[ A(n)=3n+1 \quad \quad D(n)=\frac{n}{2^{\nu_2(n)}}\]
En cuanto a la discontinuidad planteada, el argumento es correcto en cuanto $$\nu_2(x+1) \text{ no es continua en } x=-1 \text{ dentro de la extensión } 2-adica$$, pero esa discontinuidad no alcanza para justificar tu afirmación, ya que la función
$$g(n)=\nu_2(n+1) \text{ es computable para }n \in \mathbb{Z}, n\neq -1$$
Ejemplo: $$n=47$$ da $$47+1=48=2^4\cdot 3$$. Entonces $$\nu_2(48)=4$$. Para números arbitrariamente grandes sigue siendo computable.
Además, tengamos en cuenta que si $$n$$ es un entero y $$n+1\neq 0$$, entonces $$\nu_2(n+1)\geq 0$$ porque la valuación $$2-adica$$ de un entero no nulo es, por definición, el exponente de $$2$$ en su factorización. Y recordemos el planteo del problema:
\[
\forall n \in \mathbb{N}^+ , \exists k \in \mathbb{N}_0 : C^k(n)= 1
\]
Estudiar $$g(n)$$ en $$\mathbb{Z}_2$$ solo sirve como extensión $$2-ádica$$, que si tiene un comportamiento singular en $$-1$$, pero no es una discontinuidad de la dinámica de Collatz sobre los enteros positivos. Y aunque $$g$$ sea discontinua en $$\mathbb{Z}_2$$, es computable para cada entero $$n\neq -1$$.
En la sección 3, hablas de "fase aditiva pura", esto en Collatz no existe, ya que toda transformacion $$n\to 3n+1$$ es siempre par. Por lo tanto, aunque la fórmula $$3^kx_0+\frac{3^k-1}{2}$$ es correcta como iteración de la función $$n\mapsto 3n+1$$, parte de una dinámica distinta de la de Collatz, porque después de cada transformación de ese tipo necesariamente intervienen las divisiones por $$2$$. Para representar directamente ese paso acelerado sería más natural escribir:
\[
\frac{3n+1}{2^{\nu_2(3n+1)}}
\]
Y además $$\nu_2(3n+1)\geq 1$$, por lo que siempre sucede al menos una división por $$2$$ luego de la "fase aditiva".
El Lema 3.1, está bien como cálculo probabilístico, pero no veo que de ese cálculo se pueda llegar a la conclusión propuesta. Que
\[
E[\nu_2(3n+1)]=2
\]
bajo el modelo probabilístico correspondiente, y por tanto
\[
\log_2(3)-2<0,
\]
da un promedio logarítmico negativo, pero eso por sí solo no demuestra una contracción para todas las órbitas, ni mucho menos ergodicidad o pseudoaleatoriedad de la dinámica de Collatz.
Hasta ahí creo que hay algunas observaciones interesantes, pero todavía no veo cómo se obtiene el salto desde estas propiedades $$2-ádicas$$ y probabilísticas hasta la afirmación de indecidibilidad en
ZFC que aparece en la sección 4.
