[Raúl Aparicio Bustillo]

No entiendo muy bien por qué se dice que la jerarquía de Von Neumann es un modelo de ZFC. Un modelo de una teoría es dar una definición a cada símbolo que haga los teoremas de una teoría verdaderos: Pero entonces, tiene que haber una definición previa al modelo de ZFC de la funcion P, del conjunto vacío, y de ordinal. ¿Entonces?

¿Cómo podemos tener modelos ya hechos sobre cosas que en teoría necesitamos definir? Si tenemos un modelo ya no necesitaríamos los axiomas, lo resolveríamos todo semánticamente, que no sé yo cuál sería el procedimiento

[Carlos Ivorra]

Eso puede interpretarse semánticamente o sintácticamente.

Semánticamente significa que si tienes un modelo de ZFC que no cumpla necesariamente el axioma de regularidad y en él consideras la clase de todos los conjuntos regulares, entonces obtienes un modelo menor de ZFC que además cumple el axioma de regularidad. Si el modelo de partida cumple ya el axioma de regularidad entonces también es cierto, pero es trivial, pues el modelo al que llegas es el mismo que el de partida.

Sintácticamente significa que si restringes los cuantificadores de cualquier fórmula del lenguaje de ZFC a la clase R de los conjuntos regulares (es decir, si cambias cada "para todo" por un "para todo conjunto regular" e igual con "existe"), si la fórmula de partida es un axioma (o un teorema) de ZFC, la fórmula restringida de este modo sigue siendo un teorema de ZFC.

[Raúl Aparicio Bustillo]

Vale, entonces no es para nada una interpretación que se pueda dar para un modelo metamatemático de la teoría de conjuntos