Para el primero, le di solución utilizando trigonometría: "primero es fácil ver", que dicho triángulo debe contener en su interior el centro del círculo, (bueno lo anterior lo dije, pero falta probarlo), una gráfica ilustrativa es:
si llamamos \( O \) el centro del círculo entonces las áreas de los triángulos \( \triangle DOB \) y \( \triangle COB \) son iguales, estas áreas son \( \displaystyle\frac{r^2\sen{\theta}}{2} \), y el área del triángulo \( \triangle COD \) es \( \displaystyle\frac{r^2\sen{\alpha}}{2} \), por lo tanto el área del triángulo \( \triangle CBD \) esta dada por:
\( A(\theta,\alpha)=r^2\sen{\theta}+\displaystyle\frac{r^2\sen{\alpha}}{2} \)
como \( 2\theta+\alpha=2\pi \), entonces:
\( A(\theta)=r^2\sen{\theta}+\displaystyle\frac{r^2\sen{(2\pi-2\theta)}}{2} \)
simplificando la expresión anterior, y derivando en terminos de \( \theta \) encuentras los puntos críticos, creo que debes llegar a que \( A(\theta) \) alcanza máximo en \( \theta=\frac{2\pi}{3} \).
Falta ver que pasa con los triángulos isósceles que no contienen en su interior el centro del círculo.
saludos
