Antes de hacer las preguntas por las que de verdad creé el tema, me gustaría preguntar una duda que me quedó en clase, la cual pregunté al profesor pero su explicación no me quedó muy clara del todo.
-Si \( (X,\tau) \) es un espacio topológico de hausdorff y \( C\subseteq{}X \) compacto, entonces \( C \) es cerrado.
Para demostrarlo vimos que \( X-C \) es abierto.
Sea \( x_0\in(X-C) \). Para cada \( y\in C, y\neq{}x_0 \) existen \( U_y, V_y \) abiertos en X tales que \( y\in U_y, x_0\in V_y, U_y\cap{}V_y=\emptyset \)
De esto concluimos que \( C\subseteq{}\cup{}_{y\in C}U_y \)
Aquí es donde vi yo algo raro. Porque si \( C \) está contenido en la unión de unos abiertos que contienen a todos los puntos de dentro de \( C \), concretamente \( C \) está contenido en su interior. Pero como el interior siempre está dentro del conjunto, \( C \) es igual a su interior, por lo tanto \( C \) es abierto, y queríamos probar que \( C \) es cerrado.
Eso choca completamente con lo que queríamos probar, entonces yo pensé que era necesario añadir alguna condición extra al enunciado para evitar ese caso. El me dijo que existen topologías en las cuales los conjuntos eran abiertos y cerrados a la vez, por lo que eso no es problema. Pero entonces volvemos a las mismas, si empezando con una topología general cualquiera se da el caso de que \( C \) es a la vez abierto y cerrado, entonces el teorema solo sirve para topologías no conexas (creo que me dijo que así se llamaban esa topologías). No sé si me estoy liando yo mas de la cuenta, pero eso me pareció muy raro.
Ejercicios:
Tengo que demostrar algunas cosas, el problema que tengo es que no sé cuáles tengo que demostrar. Me pusieron hace poco un examen tipo test, que me salió mal, la verdad, y como ejercicio nos puso demostrar los enunciados que eran falsos. No nos dijo cuáles estaban bien o mal, así que en muchos casos no sé cuáles tengo que demostrar.
2-
b)La clausura de cualquier subconjunto de X es una unión de bolas cerradas.
c)La clausura de cualquier bola abierta es la correspondiente bola cerrada.
d)El interior de cualquier bola cerrada es la correspondiente bola abierta.
No sé cuáles son verdad y cuáles no, la a) sé que es verdad, así que no la pongo. En el 1 ya tengo hecho lo que había qu ehacer.
3-
c) \( Int(A\cup{}B)=Int(A)\cup{}Int(B) \)
Sé que es falsa, lo que no encuentro es un contraejemplo.
4- En (\( \mathbb{R}, |\cdot{}| \)
c)\( \mathbb{N} \) es denso.
d)\( \mathbb{Z} \) es denso.
Sé que son falsas. Para demostrarlo digo que la clausura de N es N, y la de Z es Z, que son distintos de R. Me parece muy tonto, no se si esta bien razonado o no.
6-\( (X,d)= ([-1,\pi)\cup{}(-\sqrt[ ]{2})\cup{}(4,6],|\cdot{}|) \) *No se como poner {} dentro de latex*
a)\( (X,d) \) es conexo.
No sé como demostrar que no es conexo. No encuentro 2 cerrados tales que si su unión es el total su intersección deba ser distinta de vacío (Esa es la única definición de conexión que sabíamos en el momento del examen)
7-Sea \( f:(\mathbb{R}, |\cdot{}|)\longrightarrow{}(X,d) \) aplicación continua.
a) Si f inyectiva entonces \( f^{-1}([x_1],[x_2]) \) es conexo si \( x_1,x_2\in X \) y \( x_1 \neq x_2 \) *Nota, en lo que está dentro del paréntesis de \( f^{-1} \) en vez de [] son {}.
b) \( f([-\pi,\sqrt[ ]{2}]) \) es compacto.
c)\( f([-\pi, \sqrt[ ]{2}]) \) es conexo.
d) Si \( \epsilon>0,x_0\in X \) entonces \( f^{-1}(B_\epsilon(x_0)) \) es una bola abierta en \( (\mathbb{R}, |\cdot{}|) \)
Ni idea de cuáles son verdad ni cuáles mentira.
8- Sea \( f:(\mathbb{R},|\cdot{}|)\longrightarrow{}(X,d) \) aplicación continua.
a)\( f([-\pi,\sqrt[ ]{2})] \) no está acotado.
d)\( (f([-\pi,\sqrt[ ]{2}]),d) \) es un espacio métrico completo y separable.
Sé que una de esas 2 tiene que ser verdad, pero no sé cuál.
9- Sea X un conjunto finito con más de un elemento y d la distancia discreta.
c) En \( (X,d) \) todos los conjuntos son conexos.
Sé que es falsa, pero nuevamente no encuentro un contraejemplo. Esta distancia es bastante puñetera.
Esos son todos los que no logro demostrar o no se si son verdad o no.
Saludos.
