[AliciaMaravilla]

Sea R es un anillo conmutativo, con I y J ideales propios de R
tales que I + J = R: Sean además  a, b elementos de R; entonces existe x elemento de R
tal que x + I = a + I en R/I y x + J = b + J en R/J.
Alguien tiene alguna idea? La verdad es que estoy medio atascado con este ejercicio. Cualquier ayuda será bienvenida. Gracias

[Gustavo]

Intenta usar el teorema chino de los restos.

[AliciaMaravilla]

?? Disculpa mi ignorancia pero cómo se puede usar ese teorema en este problema? No veo relación alguna

[Gustavo]

Con el teorema chino tienes un homomorfismo \( \varphi \) entre \( R \) y \( R/I\times R/J, \) que envía \( r\in R \) en \( (r+I,r+J). \) El homomorfismo es sobreyectivo porque \( I+J=R. \) El elemento \( (a+I,b+J)\in R/I\times R/J \) debe tener entonces una preimagen \( x\in R, \) luego \( \varphi(x)=(x+I,x+J)=(a+I,b+J). \)

[AliciaMaravilla]

Interesante, la verdad es que el único teorema del chino del resto que conozco es lo que sale en Wikipedia. La verdad es que no sabía que tenía aplicaciones en este tema de los ideales.

Lo único que no entiendo es que por qué si I+J=R entonces ese morfismo es sobreyectivo. Eso sale del teorema o es aparte?   

[Gustavo]

Me parece que no estamos hablando de lo mismo. Yo me refiero al teorema chino de los restos para anillos e ideales, como el que aparece en Wikipedia (en inglés) o en estas notas (teorema 2.2.2). La condición \( I+J=R \) se conoce como \( I \) y \( J \) son comaximales.