[titan_ae]

Hola, buenos días... tengo unos problemas con un par de ejercicios de autovalores:


1) Suponga que  \( k_1 \) es un valor propio de la matriz A y \( k_2 \) es una valor propio de la matriz B.  ¿Es \( k_1+k_2 \)valor propio de la matriz A+B?
2) Sea \( T:V\rightarrow{}V \) una T.L. diagonalizable, con tres valores propios distintos y sea B= {s,u,v,w} es una base de V formada por autovectores de T. Probar que el vector h=s+2u+v-w no es autovectot asociado a ningûn autovalor.

Para el primero se que no tiene porque  ser autovalor, pero no se como probarlo
ya que tendria
\( \left |{A-k_1I}\right |=0 \) y por otro lado tendo \( \left |{B-k_2I}\right |=0 \)
y necesito que cumpla con \( \left |{(A+B)-(k_1+k_2)I}\right |=0 \)
lo puedo desarollar hasta
\( \left |{(A-(k_1)I)+((B-k_2)I)}\right |=0 \)
y como en general el determinante no cumple con (ya que puede ver un caso particular que suceda)
\( \left |{A}\right |+\left |{B}\right |=\left |{A+B}\right | \)
entonces esto en general no sucede
\( \left |{(A-(k_1)I)+((B-k_2)I)}\right |= {\underbrace{|(A-k_1I|}_{0}+\underbrace{|B-k_2I|}_{0}}=0 \)
entonces, al menos que este en un caso particular no sucede y el autovalor seria distinto a \( k_1+k_2 \)

no estoy seguro si esta bien justificado...


y para el 2do inciso no se que hacer...

[Luis Fuentes]

Hola

 1) Lo primero que tienes que tener claro es que para probar que una propiedad falla basta que muestres un ejemplo concreto donde no se cumple.

 Mi sugerencia es que busques un ejemplo con \( k_1=k_2=0 \) teniendo en cuenta que el cero es autovalor de una matriz si y sólo si esta tiene determinante nulo. Inténtalo.

 2) Por ser \( s,u,v,w \) autovectores se tiene que:

\(  t(s)=as,\quad t(u)=bu,\quad t(v)=cv,\quad t(w)=dw \)

 Con \( a,b,c,d \) autovalores; como sólo hay tres diferentes. En esas letras hay dos exactamente con el mismo valor.

 Ahora:

\(  t(h)=t(s+2u+v-w)=t(s)+2t(u)+t(v)-t(w)=as+2bu+cv-dw \)

 Si fuese autovector tendría que cumplirse que \( t(h)=eh \) con e igual a \( a,b,c \) ó \( d \).

 Es decir tendría que cumplirse:

\(  as+2bu+cv-dw=e(s+2u+v-w) \)

 de donde (por ser \( \{s,y,v,w\} \) base):

\(  a=e,\quad b=e,\quad c=e,\quad d=e \)

 Concluye...

Saludos.

[titan_ae]

Ah, claro... el 2do era sencillo, jeje, muchas gracias