[maggy]

Hola a todos, estoy estudiando teoría combinatoria pero el problema es que no sé cuándo es una o la otra.

Tengo un ejercicio que no se cómo plantearlo, dice así:

¿Cuántas banderas diferentes de 3 bandas horizontales distintas se pueden formar con los colores: verde, rojo, azul, amarillo y negro?

¿Cuántas si se permite que la banda inferior sea del mismo color que la banda superior?

Yo lo que pensé fue hacer \( 5\times 4\times 3=60 \) pero no sé si eso es variaciones o permutaciones, ¿alguien me puede ayudar por

favor?

Gracias

Maggy

Para signo de multiplicación, puedes usar \times  . Como ves, queda más prolijo que \( \red 5 x 4 x 3=60 \) pues la letra \( \red x \) puede confundirse con una incógnita.

[pierrot]

Hola

Está perfecto lo que hiciste. Son variaciones de 5 tomadas de a 3:

\( V_{5,3}=\dfrac{5!}{(5-3)!}=5\times 4\times 3 \)

Permutaciones de orden \( n \) son las variaciones de \( n \) tomadas de a \( n \), o sea:

\( P_n=V_{n,n}=\dfrac{n!}{(n-n)!}=n! \)

Correspondería al caso en que el número de colores disponible coincidiera con el número de franjas de la bandera, pues en dicho caso, para obtener una bandera distinta basta cambiar el orden de las franjas.

Para la otra pregunta, o sea:

¿Cuántas si se permite que la banda inferior sea del mismo color que la banda superior?

Va a ser la misma cantidad que antes, es decir 60, más la cantidad de banderas que tienen del mismo color las bandas superior e inferior.
Si dicho color es rojo, hay 4 posibilidades para elegir el color de la banda del medio. Y lo mismo si fuera verde, azul, amarillo o negro. Luego la cantidad de banderas que tienen las bandas superior e inferior del mismo color son \( 5\times 4=20 \). Por lo tanto la respuesta final sería:

\( 60+20=80 \)

También puedes pensarlo de la misma manera que antes. Para la primer franja tengo 5 posibilidades, para la segunda franja tengo 4 posibilidades (pues no puedo elegir el mismo color que elegí para la primera); por último para la tercer franja tengo 4 posibilidades de nuevo, pues el único color que no está permitido es de la franja del medio. Por la regla del producto, hay

\( 5\times 4\times 4=80 \)

banderas en las condiciones pedidas.

Saludos

[xamo]

pabloN te ha respondido perfectamente, pero yo vengo a apuntillar un poco. Para saber que usar (variaciones, permutaciones o combinaciones, todas simples) ante un problema te vendrá de utilidad saber:

Las variaciones se usan en el caso de que en el problema importe el orden y los elementos no se tengan  que repetir (o no puedan).

Las permutaciones se usan cuando el orden importa , los elementos no se repiten pero se trabaja con todos los elementos.

Y en las combinaciones no importa el orden y los elementos no se repiten.


Ejemplos:

¿Cuántos números de tres cifras diferentes se puede formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4, 5 ?

Vemos que importa el orden y que los dígitos no se pueden repetir (ya que las cifras han de ser diferentes), por tanto se resuelve con variaciones.

¿Cuántos números de 5 cifras diferentes se puede formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4, 5?

Se trabaja con todos los elementos, no se repiten e importa el orden. Son permutaciones.

Básicamente con las permutaciones lo que hacemos es "ordenar" los elementos, para que tengas una idea más clara.

En una clase de 35 alumnos se quiere elegir un comité formado por tres alumnos. ¿Cuántos comités diferentes se pueden formar?

Se trabaja con todos los elementos. No importa el orden: el grupo formado por elegir primero a Juan y luego a Ana, es el mismo que si elegimos primero a Ana y después a Juan. Y por último no se repiten los elementos. Son combinaciones.