El problema dice: Calcular \( \displaystyle\int \displaystyle\int_S \sqrt{1-x^2-y^2} dA \) donde S es el círculo de radio 1 y centro en el punto (0,0).
S se encuentra en el la parte inferior entre las 2 integrales, y las 2 integrales se suponen que van una al lado de la otra.. Es que no consigo hacer que se represente bien.
Lo primero que hago es pintar el círculo y ver que los límites de la region son \( \int_0^\Pi \int_0^1 \)(en este tipo de problemas el profesor me dijo que pusiera \( \Pi \) en vez de \( 2\Pi \) y al final que multiplique por 2, ya que si no el resultado final sería 0 pues se anularía la parte superior con la inferior).
Despues paso a coordenadas polares X e Y y sustituyo.
Entre sustituir, sacar factor común \( p^2 \) y cambiar \( cos^2{\theta} + sen^2{\theta} \) por 1 llego a la siguiente expresión:
\( \displaystyle\int_0^\Pi \displaystyle\int_0^1 \sqrt{1-p^2} p dp d\theta} \)
Aqui convierto la raíz a \( (1-p^2)^{1/2} \) y procedo a integrar:
\( \displaystyle\int_0^\Pi \dfrac{(1-p^2)^{3/2}}{3/2} * \dfrac{p^2}{2} d\theta \) evaluada entre 1 y 0 (es que no se como poner este símbolo).
Operando un poco me queda:
\( \dfrac{1}{3} \displaystyle\int_0^\Pi \sqrt{(1-p^2)^3} p^2 d\theta \)
Al evaluar entre 1 y 0 me da 0, por lo que tendría \( \displaystyle\int_0^\Pi 0 d\theta = 0 \) lo cuál es evidente que está mal. Donde me he equivocado?
