[Jano]

Si 0< r <1 y la sucesion \( x_n \) es una sucesión tal que \( \left |{x_\left\{{n+1}\right\}} - x_\left\{{n}\right\} \right|< r^n \) para todo n perteneciente a los naturales, demostrar que la sucesión es de Cauchy.

[Luis Fuentes]

Hola

 Observa que:
 
\(  |x_{n+2}-x_n|=|x_{n+2}-x_{n+1}+x_{n+1}-x_n|\leq |x_{n+2}-x_{n+1}|+|x_{n+1}-x_n|<r^{n+1}+r^n \)

 Análogamente para \( m>n \), prueba que:

\(  |x_m-x_n|\leq \displaystyle\sum_{k=n}^{m-1}r^k<\displaystyle\sum_{k=n}^{\infty}r^k=\dfrac{r^n}{1-r} \)

 Concluye...

Saludos.

[Jano]

La conclusión sería que \( \displaystyle\frac{r^n}{1-r} \) es menor que E para cada E mayor que cero si n mayor o igual que un cierto k y por tanto la sucesion es de Cauchy, ¿Cierto? Por supuesto, demostrándolo.

[Luis Fuentes]

Hola

 Correcto, porque de ahí se deduce que para \( m>n> \)"cierto \( k \)" se cumple que \( |x_m-x_n|<E \).

Saludos.