[Dabt]

Sea \( f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} \) definida por \( f(x)=x \sen x \). Pruebe que para todo \( c\in \mathbb{R} \) existe una sucesión \( x_n \in \mathbb{R} \) con \( \displaystyle\lim_{n \to +\infty}x_n=+\infty \) y \( \displaystyle\lim_{n \to +\infty}f(x_n)=c \).

[pierrot]

Hola

Basta tomar \( \{x_n\}_{n\in \mathbb{N}} \) como el conjunto de soluciones positivas de la ecuación \( x\sen x=c \) (ordenadas en forma creciente, es decir \( x_1 \) es la menor solución, \( x_2 \) la que le sigue, y así sucesivamente). De esa manera \( f(x_n) \) es la sucesión constante igual a \( c \) (y por lo tanto verifica que \( \displaystyle\lim_{n \to +\infty}f(x_n)=c \)).

Saludos

[Dabt]

Hola, la idea que me das es muy buena lo único que aun no veo es como justificar que la ecuación \( x\sen x=c \) tiene infinitas soluciones?

[Luis Fuentes]

Hola

 Sea:

\(  g(x)=xsin(x)-c \)

 Observa que si, para todos los enteros \( k \) tales que \( 2k\pi>c \) se tiene que:

\(  g(2k\pi+\dfrac{\pi}{2})=2k\pi+\dfrac{\pi}{2}-c>0 \)
\(  g(2k\pi+\dfrac{3\pi}{2})=-2k\pi-\dfrac{3\pi}{2}-c<0 \)

Saludos.

[pierrot]

Claro, la idea era aplicar el teorema de Bolzano.