[carlaa]

Hola

Escribo a ver si alguien me puede ayudar a resolver esta igualdad...
Siento si no lo he escrito muy bien, pero es la primera vez que intervengo en el foro..

\(  \displaystyle\int_{0}^{\pi} x\cdot{f(\sen x)}\, dx=(\pi/2)\int_{0}^{\pi} f(\sen x)\, dx  \)

Muchas gracias!!!

[teeteto]

Define

\( g(x)=\left(x-\dfrac{\pi}{2}\right)f(\sen x) \)

Puedes ver fácilmente que

\( \displaystyle \int_0^{\pi/2} g(x)\ dx=-\int_{\pi/2}^{\pi} g(x)\ dx \)

por lo que

\( \displaystyle \int_0^{\pi} g(x)\ dx=0 \)

que es, justamente, lo que quieres ver

[carlaa]

Muchas gracias!!!
No veo muy bien
\(  \displaystyle \int_0^{\pi/2} g(x)\ dx=-\int_{\pi/2}^{\pi} g(x)\ dx  \)

Gracias

[pierrot]

Hola

En la integral \( \displaystyle \int_0^{\pi/2} g(x)\ dx \) haz el cambio \( u=\pi-x \).

Saludos

[carlaa]

Gracias!!!

Pero me quedaría  du=-dx

\( -\displaystyle \int_\pi^{\pi/2} g(\pi-u)\ du \)

que es igual a

\( \displaystyle\int_{\pi/2}^{\pi} g(\pi-u)\ du \)

[pierrot]

\( \displaystyle\int_{\pi/2}^{\pi} g(\pi-u)\ du \)

Correcto.

Fíjate ahora que \( g(\pi-u)=\left((\pi-u)-\dfrac{\pi}{2}\right)f\big(\sen (\pi-u)\big)=-\left(u-\dfrac{\pi}{2}\right)f\big(\sen(\pi-u)\big) \).

Pero \( \sen(\pi-u)=\sen(u) \)...

[carlaa]

Muchas gracias!!!
Con todo estoy llego a
\( -\displaystyle\int_{\pi/2}^{\pi} g(u)\ du \)

pero lo tengo que poner en función de x para obtener la igualdad, pero u=pi-x entonces ya no me queda

[pierrot]

Muchas gracias!!!
Con todo estoy llego a
\( -\displaystyle\int_{\pi/2}^{\pi} g(u)\ du \)

Perfecto  .

pero lo tengo que poner en función de x para obtener la igualdad, pero u=pi-x entonces ya no me queda

Ahh, pero no importa. Ahí \( u \) es una variable muda. O sea,

\( -\displaystyle\int_{\pi/2}^{\pi} g(u)\ du=-\int_{\pi/2}^{\pi} g(x)\ dx=-\int_{\pi/2}^{\pi} g(\text{zanahoria})\ d\text{zanahoria} \)

[carlaa]

Ah claro!!!
Muchas gracias!!!