Hola
Con la notación que yo conozco el símbolo "\( \leq \)" significa "subespacio cerrado".
Entonces:
1) Ver que \( M^\bot \) es subespacio es fácil: si dos elementos son perpendiculares a todos los de M, también su combinación lineal, simplemente utilizando la linealidad del producto interior.
2) Para ver que es cerrado:
- Toma una sucesión de elementos de \( M^\bot \).
- Por ser de Hilbert esa sucesión tiene límite en V.
- Comprueba que fijado un elemento x de M ese límite es perpendicular a él. Para ello utiliza que eso es cierto para los términos de la sucesión y que el producto interior es una función continua.
- Por tanto habrás deducido que el límite está en \( M^\bot \) y este es cerrado.
Saludos.
