[numbsoul]

Sea \( K \) un cuerpo y sea \( L=K(X) \).Sea \( H\leq G(L/K) \) el subgrupo generado por los automorfismos \( \sigma,\tau \) dados por \( \sigma(X)=1-\dfrac{1}{X} \) y \( \tau(X)=\dfrac{1}{X} \).

(a)Probar que \( H\cong S_{3} \).

(b)Si \( f=\dfrac{(X^{2}-X+1)^{3}}{X^{2}(X-1)^{2}} \), probar que el subcuerpo de \( L \) fijado por \( H \) es \( K(f) \).

La parte (a) ya la hice, observando que \( \sigma,\tau \) tienen orden \( 3 \) y \( 2 \) respectivamente y \( \tau\sigma\tau=\sigma^{-1} \), de modo que \( H\cong D_{3}\cong S_{3} \).

[numbsoul]

¿Cómo escribo la notación de cuerpo fijo por un grupo de automorfismos?
Respecto al ejercicio,para probar que \( K(f) \) está en el cuerpo fijo,basta ver que \( \sigma(f)=f \) y \( \tau(f)=f \).Una vez probado eso,¿cómo pruebo la igualdad?.

[numbsoul]

Creo que con esto sale:
Escribimos \( L=K(f)(X) \).Sabemos que \( L \) tiene grado \( 6 \) sobre el cuerpo fijo por \( H \),en virtud del teorema de Artin.Por lo tanto \( [L:K(f)]\geq 6 \).

Por otro lado \( p(T)=fT^{2}(T-1)^{2}-(T^{2}-T+1)^{3}\in K(f)[X] \) se anula en \( X \) y por lo tanto \( [L:K(f)]\leq 6 \).Luego \( [L:K(f)]=6 \) y entonces \( K(f) \) es el cuerpo fijo por \( H \).