[Gaussa]

Hola.

No acabo de entender la demostración de que todo anillo tiene al menos un ideal maximal. Dice así:

Consideremos \( A=\{I : \mbox{I es ideal de A}, I\neq{A}\} \)

\( A \) es un conjunto no vacío, ya que \( \{0\}\in{A} \), y \( (A,\subseteq{}) \) es un conjunto parcialmente ordenado. Sea \( I_1\subseteq{I_2\subseteq{...}} \) una cadena en \( A \).

Es fácil ver que \( \cup{I_i} \) es un ideal \( A \). Además, \( \cup{I_i}\neq{A} \), ya que si \( \cup{I_i}=A \), entonces \( 1\in{A}=\cup{I_i} \), luego existiría un \( I_i \), y por tanto, \( I_i=A \) en contradicción con el hecho de que \( I_i\in{A} \)

Hasta ahí va todo bien, lo que me queda es esta parte, la importante, la que no acabo de ver. Dice que por el lema de Zorn, \( A \) tiene un elemento maximal.

Está claro que por hipótesis se  trata de un conjunto no vacío parcialmente oredenado, pero no veo donde se ha demostrado que toda cadena ascendente tiene cota superior para poder concluir que tiene un elemento maximal.

En realidad, los pasos que da la demostración los entiendo, pero no sé para qué los hace.

Saludos y muchas gracias

[Tanius]

La cota superior es la unión de los ideales.

[Gaussa]

Hola Tanius, muchas gracias.

La cota superior es la unión de los ideales.

¿Por qué se ve eso? ¿Para qué sirve demostrar que \( \cup{U_i} \) es ideal de \( A \) y que \( \cup{I_i}\neq{A} \)?

Saludos

[Carlos Ivorra]

Hay algunos detalles en la demostración que no son correctos. Una cuestión menor es que no puedes llamar igual al conjunto parcialmente ordenado que al anillo. Digamos que

\( \mathcal A = \{I : \mbox{I es ideal de A}, I\neq{A}\} \).

Un hecho más grave es que en la prueba se supone que la cadena en \( \mathcal A \) es de la forma \( I_1\subseteq I_2\subseteq I_3\subseteq \cdots \), con lo cual está suponiendo que es numerable, y eso no es admisible. Hay que tomar una cadena \( C\subset \mathcal A \) formada por ideales de \( A \), de modo que si \( I,J\in  C \) entonces \( I\subset J \) o bien \( J\subset I \), pero no puedes numerar sus elementos.

Esto no altera la prueba, que nos da que \( I^*=\bigcup_{I\in C}I \) es un ideal de \( A \) distinto de \( A \), que es lo primero que tiene que cumplir algo que pueda ser una cota superior de la cadena dada. Ahora, como te dice Tanius, \( I^* \)  es una cota superior de la cadena \( C \), pues si \( I\in C \) es evidente que \( I\subset I^* \), y eso es ser cota superior.

El lema de Zorn te da entonces un \( M\in \mathcal A \) que es maximal respecto a la inclusión, y eso es un ideal maximal.

[Gaussa]

Hola. Muchas gracias.

Hay algunos detalles en la demostración que no son correctos. Una cuestión menor es que no puedes llamar igual al conjunto parcialmente ordenado que al anillo. Digamos que

\( \mathcal A = \{I : \mbox{I es ideal de A}, I\neq{A}\} \).

Un hecho más grave es que en la prueba se supone que la cadena en \( \mathcal A \) es de la forma \( I_1\subseteq I_2\subseteq I_3\subseteq \cdots \), con lo cual está suponiendo que es numerable, y eso no es admisible. Hay que tomar una cadena \( C\subset \mathcal A \) formada por ideales de \( A \), de modo que si \( I,J\in  C \) entonces \( I\subset J \) o bien \( J\subset I \), pero no puedes numerar sus elementos.

Lo de llamar igual al conjunto parcialmente ordenado que al anillo fue error mío, en los apuntes si está bien escrito. Pero lo de suponer que el conjunto es numerable sí que viene, así que está mal, porque entiendo que no se puede suponer.

Esto no altera la prueba, que nos da que \( I^*=\bigcup_{I\in C}I \) es un ideal de \( A \) distinto de \( A \), que es lo primero que tiene que cumplir algo que pueda ser una cota superior de la cadena dada.

¿Qué es lo que tiene que cumplir exactamente? Entiendo que debe cumplir que todos los ideales son menores que \( I^* \), pero, ¿por qué debe ser \( I^* \) distinto de \( A \)?

Saludos

[Carlos Ivorra]

¿Qué es lo que tiene que cumplir exactamente? Entiendo que debe cumplir que todos los ideales son menores que \( I^* \), pero, ¿por qué debe ser \( I^* \) distinto de \( A \)?

Una cota superior de \( C \) en \( \mathcal A \) es un elemento de \( \mathcal A \) que contenga a todos los elementos de \( C \). La condición \( I^*\neq A \) es parte de lo exigido para que \( I^*\in \mathcal A \) (está en la definición de \( \mathcal A \)) y esa condición hay que ponerla en la definición de \( \mathcal A \) para que al final, cuando encuentras el elemento \( M\in \mathcal A \) maximal respecto de la inclusión, puedas asegurar que \( M\neq A \) (por definición de \( \mathcal A \)) y necesitas que \( M\neq A \) porque esta condición forma parte de la definición de ideal maximal. Si no la hubieras garantizado definiendo \( \mathcal A \) como lo has hecho, podrías acabar con \( M=A \) y no podrías decir que has encontrado un ideal maximal.

[Gaussa]

¡Ah, claro! Ya lo veo, muchas gracias

Saludos