[Tanius]

¡Hola!

Llevo pensando un buen rato esto: sea \( F \) un campo de característica distinta de 2, y sean \( d_1,d_2\in{F} \) no cuadrados.
Probar que \( F(\sqrt{d_1} , \sqrt{d_2}) \) es de grado 4 sobre \( F \) si \( d_1d_2 \) no es un cuadrado, y es de grado 2 en otro caso.

He trabajado con anterioridad muchos casos pero cuando \( F=\mathbb{Q} \), en ese caso por ejemplo es posible demostrar que \( \mathbb{Q}(\sqrt{d_1} , \sqrt{d_2}) = \mathbb{Q}(\theta) \) para algún \( \theta \), y luego el grado será el grado del polinomio mínimo de \( \theta \).

¿Pero en este caso, qué puedo hacer? ¿Alguna idea?

Gracias de antemano

[numbsoul]

Prueba  que \( \sqrt{d_{2}} \) tiene grado \( 2 \) sobre  \( F(\sqrt{d_{1}}) \) en el caso en que el producto no es un cuadrado.(El grado es menor o igual a \( 2 \),con lo cual has de probar que \( \sqrt{d_{2}}\notin F(\sqrt{d_{1}}) \))

[Tanius]

Ah, ya lo estoy entendiendo.

Claramente \( F(\sqrt{d_1} ,\sqrt{d_2} ) \) tiene grado menor o igual que \( 2 \) sobre \( F(\sqrt{d_1}) \), porque \( \sqrt{d_2} \) se anula en \( x^2-d_2 \in{F(\sqrt{d_1})[x]} \).

Queremos ver que el grado no puede ser 1. Como dices, basta comprobar que \( \sqrt{d_2}\not\in{F(\sqrt{d_1})} \). Aún no logro ver cómo probar este último. Lo primero que pensé fue en que si se diera esa pertenencia, entonces \( \sqrt{d_2} \sqrt{d_1}\in{F(\sqrt{d_1})} \). Pero nada me asegura la igualdad \( \sqrt{d_2} \sqrt{d_1} = \sqrt{d_1d_2} \) (con el objetivo de usar la hipótesis acerca del producto).

Gracias, numbsoul.

[numbsoul]

Supón \( \sqrt{d_{2}}=a+b\sqrt{d_{1}} \),eleva al cuadrado y haz un par de cuentas.

[Carlos Ivorra]

Creo que sale un poco más rápido si elevas al cuadrado en \( \sqrt{d_2}-b\sqrt{d_1}=a \).

[Tanius]

Ah, ya lo veo, muchas gracias.

De la igualdad \( d_2-2b\sqrt{d_2}\sqrt{d_1} + b^2d_1 = a ^2  \) despejamos el producto de los raíces (usando que \( 2\neq{0} \)), elevamos al cuadrado otra vez y llegamos a que \( d_1d_2 \) es un cuadrado de \( F \).

Así que concluimos que \( F(\sqrt{d_1},\sqrt{d_2}) \) tiene grado 2 sobre \( F(\sqrt{d_1}) \), luego el grado de \( F(\sqrt{d_1},\sqrt{d_2}) \) sobre \( F \) es \( 2\cdot{2} = 4 \).

¿Qué puedo hacer en el caso en que \( d_1d_2 \) sí es un cuadrado? Supongo que hay que demostrar que \( \sqrt{d_2}\in{F(\sqrt{d_1})} \)

Un saludo

[Carlos Ivorra]

¿Qué puedo hacer en el caso en que \( d_1d_2 \) sí es un cuadrado? Supongo que hay que demostrar que \( \sqrt{d_2}\in{F(\sqrt{d_1})} \)

Eso es trivial: tienes que \( \sqrt{d_1}\sqrt{d_2}\in F \).

[Tanius]

¿Qué puedo hacer en el caso en que \( d_1d_2 \) sí es un cuadrado? Supongo que hay que demostrar que \( \sqrt{d_2}\in{F(\sqrt{d_1})} \)

Eso es trivial: tienes que \( \sqrt{d_1}\sqrt{d_2}\in F \).

Huy, es que no lo veo . Si el producto es cuadrado, \( d_1d_2 = a^2 \) para algún \( a\in{F} \). De aquí no sé si pueda tomar raíces y separar el producto de las raíces.

Gracias.

[Carlos Ivorra]

Tienes que \( (\sqrt{d_1}\sqrt{d_2})^2 = d_1d_2=c^2 \), luego \( \sqrt{d_1}\sqrt{d_2}=\pm c \). Aquí usas que las únicas raíces de \( x^2-c^2 \) son \( \pm c \).

[Tanius]

Aaahh, ahora lo veo.

Muchas gracias por su ayuda