Hola.
Sea \( Z(A)=\{a \in A: ax=xa, \forall{x \in A}\} \) el centro de un anillo \( A \).
a) Demuetra que \( Z(A) \) es subanillo de \( A \)
b) Demuestra que si \( A \) es anillo de división, entonces \( Z(A) \) es cuerpo.
El ejercicio lo he intentando (no sé si estará bien), aunque tengo una gran duda. Me han dicho que los anillos que trabajaré este curso son todos conmutativos y unitarios. Entonces, si \( a,x \in A \), ¿no debería ser "obvio" que por estar en un anillo se cumple la conmutativa en el producto, \( ax=xa \)?
a) Para hacer la demostración, tomaré \( a,b \in Z(A) \). Entonces se verifica que \( a,b \in A \) y que \( ax=xa \) (*), \( bx=xb \) (**) para todo \( x \in A \)
Tengo que demostrar lo siguiente:
1. Si \( a, b \in Z(A) \), \( a\pm{b} \in Z(A) \)
Por (*) (**) y aplicando la distributiva puesto que se trata de un anillo y \( a,b,x \in A \) (luego \( a\pm{b} \in A \)), se tiene que:
\( (a\pm{}b)x=ax\pm{}bx=xa\pm{}xb=x(a\pm{}b) \)
2. Si \( a, b \in Z(A) \), \( ab \in Z(A) \)
Por (*) (**) y aplicando la propiedad asociativa, puesto que se trata de un anillo y \( a,b,x \in A \) (y, por tanto, \( ab \in A \)), se tiene que:
\( (ab)x=a(bx)=a(xb)=(ax)b=(xa)b=x(ab) \)
3. \( 1 \in Z(A) \)
Por ser \( A \) anillo, \( 1 \in A \) y para cada \( a \in A \) se verifica que \( 1\cdot{a}=a=a\cdot{1} \)
b)
Escribo los mismos pasos que he ido dando para que sea más fácil encontrar el error (me da que hay error, no sé si uso propiedades que no debería)
Como \( A \) es anillo de división, todo elemento no nulo tiene inverso, es decir, para cada \( a \in A \) existe \( a^{-1} \) tal que \( aa^{-1}=1 \)
Tengo que demostrar que para cada \( a \in Z(A) \) existe \( a^{-1} \in Z(A) \) tal que \( aa^{-1}=1 \). Como \( a \in Z(A) \) se tiene que \( a \in A \), luego si demuestro que \( a^{-1} \in Z(A) \) habré terminado.
Sea entonces \( x \in A \). Se tiene que:
\( a^{-1}x=a^{-1}\cdot{x}\cdot{1} \) (unidad del anillo)
\( a^{-1}\cdot{x}\cdot{1}= a^{-1}x(aa^{-1}) \) (pues \( a,a^{-1} \in A \))
\( a^{-1}x(aa^{-1})=a^{-1}(xa)a^{-1} \) (asociativa)
\( a^{-1}(xa)a^{-1}=a^{-1}(ax)a^{-1} \) (\( a \in Z(A) \))
\( a^{-1}(ax)a^{-1}=(a^{-1}a)xa^{-1} \) (asociativa)
\( (a^{-1}a)xa{-1}=1xa{-1}=xa^{-1} \)
Luego \( a^{-1}x=xa^{-1} \)
Saludos y muchas gracias
