[raule]

Un adivino es capaz de decir el tanteo de un partido de futbol antes de que comience el encuentro. Hasta  a horita nunca ha fallado. ¿Será posible que acierte siempre?

[argentinator]

La probabilidad de que acierte siempre el resultado en número N de encuentros es menor que \( 2^{-N} \), pero sí es posible.
Los eventos son poco o muy probables antes de que ocurran, pero nada impide que ocurran. Si fuera imposible, la probabilidad sería 0.
Aún así, hay casos en que la probabilidad es 0, y el evento aún puede ocurrir. Esto ocurre por ejemplo con probabilidades en el continuo, o sobre espacios muestrales infinitos.

[Ben El analista]

Una pregunta: en la realidad (mas allá del problema del adivino): ¿Hay espacios muestrales infinitos? ¿Puede haber infinitos diferentes sucesos?

[argentinator]

Esa pregunta tiene un problema filosófico, porque nunca sabemos con total precisión qué cosa es la realidad.
La matemática sólo modela la realidad a través de una herramienta intelectual comprensible para el ser humano, y como tal, está sujeta a limitaciones y subjetividades.
Como sea, hay problemas concretos de la realidad que se modelan con espacios muestrales infinitos.
Un ejemplo sencillo sería éste: Si arrojo una moneda al azar sobre una estoy en un patio, y dibujo con tiza una figura cerrada en ese patio, y luego arrojo una moneda al aire: ¿Cuál es la probabilidad de que la moneda caiga en dentro de la figura que dibujé?
El espacio muestral consiste en los infinitos puntos de la superficie del patio.
La probabilidad anterior es un caso de probabilidad geométrica, y se suele calcular como un cociente de áreas (el área del evento estudiado, sobre el área total del espacio muestral).

Si nos vamos a las actuales teorías de la física, el patio sólo contiene un número finito de partículas, así que los infinitos puntos estarían demás...
Pero nada nos dice que en el futuro se descubran nuevas propiedades de la estructura íntima de la materia, que nos digan que en realidad hay algo infinito en ella, y que sin embargo lo ''finito'' son sólo las partículas más ''estables'' de la realidad.

No podemos saber si la realidad es finita o infinita, en un sentido u otro.
Solamente podemos saber si un modelo matemático de la realidad es finito o no.
El espacio muestral de un problema geométrico será, en general, infinito.
Si en vez de preguntar por la moneda en el patio, pregunta por la probabilidad de que el agua de una nube caiga como lluvia en alguna ciudad de la Tierra, el tratamiento sería similar. La superficie de la Tierra sería el espacio muestral, y constaría de infinitos puntos.

Se entiende que siempre los modelos teóricos representan una aproximación comprensible de la realidad, a menudo muy simplificada.

[argentinator]

Un espacio muestral infinito es una cosa diferente a hablar de una familia de infinitos sucesos.
Los sucesos o eventos, son subconjuntos del espacio muestral, y no siempre pueden tomarse ''todos'' los subconjuntos (por problemas teóricos de la buena definición de una ''medida'' de probabilidad).
Sin embargo, en el problema geométrico de tirar una moneda en el patio, está claro que puedo dibujar infinitas figuras cerradas distintas (por ejemplo círculos o cuadrados, de distintos tamaños, en diferentes lugares del patio), y entonces los eventos de la forma ''LA MONEDA CAE EN LA REGION CERRADA R'' son en total infinitos, porque por cada región R que dibuje tendré un evento distinto.

[Ben El analista]

Gracias. Me quedó bastante claro. ¡El ejemplo del patio es excelente!

[Juli]

Muy interesante el ejemplo del patio.. da para ponerse a pensar.

Pero la probabilidad de que acierte no es menor a \( 3^{-N} \)? Como son de fútbol se tendrían que considerar los empates como resultados posibles, no como en tenis o voley por ejemplo.

[argentinator]

Estimad@ Juli. El tema de la probabilidad de ''menor que \( 2^{-N} \)'' es por la interpretación que hago del problema.

Según tengo entendido, el adivino no acierta entre Local, Empate o Visitante, sino que dice los goles de ambos equipos.
Entonces pienso que hay muchos resultados posibles, por lo menos 2 (por ejemplo, 1x0, 2x3, 5x1, 0x0, etc., etc., etc.), y de ahí que digo que la probabilidad es menor que \( 2^{-N} \) en N casos. Pero pensando que en realidad es mucho menor.

Pero lo cierto es que esto dicho así a la ligera tampoco es muy bueno, y engaña sobre la naturaleza probabilística del problema.
Si quiero especificar la probabilidad de que un determinado equipo haga exactamente x goles, debo hacer algún supuesto previo sobre la dificultad de hacer x goles. No tengo muchas ganas de hacer eso, pero al menos te cuento que la variable aleatoria que hay que tener en cuenta en este caso, es una que puede pasar por todos los números naturales.
Y entonces hay que establecer la probabilidad de que el equipo haga 0 goles, de que haga 1 gol, de que haga 2 goles, etc.
Para cada valor de x goles, habrá un valor de probabilidad, que habrá que determinar con algunas hipótesis. Si llama P a la función de probabilidad, y x a la variable aleatoria de la cantidad de goles, entonces tengo que determinar de alguna manera estos valores:
\( p_0=P(x=0) \)
\( p_1=P(x=1) \)
\( p_2=P(x=2) \)
\( p_3=P(x=3) \)
y así sucesivamente.
Como la probabilidad total de un espacio muestral debe ser siempre 1, la suma de todas estas probabilidades debe ser exactamente 1.

Se complica más cuando agrego el segundo equipo, porque ahora las probabilidades de ambos equipos están correlacionadas entre sí.

Sin embargo, es cierto lo que estás diciendo, de que si el resultado que debe darse es solamente Local, Empate o Visitante, y si no hay ninguna información, puede suponerse cualquiera de esos tres eventos como equiprobable, y darle a cada uno probabilidad 1/3.

[Juli]

Bueno, claro que depende de la interpretación que cada uno haga del problema. Yo llegué a considerar que el adivino predijera la cantidad de goles por equipo, pero de probabilidad sé muy poco y no se me ocurría una manera de buscarla.

Saludos.