[nktclau]

Hola GENTE, a ver si me despejan la siguiente duda por favor.

Si tienes latas de pintura de color rojo y latas de pintura de color azul, además una gran cantidad de cubo de madera de igual tamaño, para pintar sus caras de modo que cada  cara tenga un solo color ¿Cuántos cubos diferentes entre si, puedes pintar  de esta manera? Se considera que dos cubos son iguales si puede rotarse uno de ellos de tal manera  que todas sus caras  sean de  igual color que las caras correspondientes  al otro cubo.

Solución: creo que es una variación de 6 tomadas de a 2, es decir: 30 cubos diferentes

esta bien???

GRACIAS

[pierrot]

Solución: creo que es una variación de 6 tomadas de a 2, es decir: 30 cubos diferentes

Hola nktclau

No, no son tantos. Lo estuve pensando y está medio difícil de plantearlo en términos combinatorios. Te doy una sugerencia que apunta a manera en la que yo lo pensé:

Sugerencia

Como hay sólo dos colores (rojo y azul) podemos hacer un análisis de casos dependiendo de cuántas caras hayan sido pintadas de rojo (o azul, como prefieras). Las restantes van a ser necesariamente del color contrario.

[cerrar]

Un saludo 

[nktclau]

Hola PabloN!!!!!!!!!  ¿cómo estás???    gracias antes que nada

la verdad que se me  complicó 

[pierrot]

Hola PabloN!!!!!!!!!  ¿cómo estás???    gracias antes que nada

De nada  .

la verdad que se me  complicó 

Spoiler

Supongamos que elegimos el color rojo. Podemos pintar de rojo todas las caras (es decir las 6), 5 solamente, 4, 3, 2, 1 o ninguna. Luego, tenemos 7 casos a analizar.

0-Si no pintamos ninguna cara de rojo, todas han sido pintadas de azul. Hay sólo 1 cubo posible.
1-Si sólo hay una cara pintada de rojo, también sólo hay 1 cubo posible porque no importa qué cara pintemos las restantes 5 serán azules.
2-Si hay dos caras pintadas de rojo hay que ser un poco más cuidadoso. En este caso habría dos cubos diferentes: aquél en el que se ha pintado de rojo dos caras contiguas y aquél en que ha pintado de rojo dos caras opuestas.
3-Es el caso más difícil. Lo mejor es razonarlo a partir del caso anterior:
(a) Si habíamos pintado de rojo dos caras contiguas hay dos posibilidades de pintar la tercer cara: i-que comparta arista con las dos caras ya pintadas, o ii-que comparta arista con sólo una de ellas.
(b) Si habíamos pintado dos caras opuestas sea cual sea la tercer cara que pintemos tendrá una arista en común con cada una de las caras ya pintadas. El cubo queda idéntico al caso (a) ii.
Luego, hay dos 2 cubos distintos.
4-Si pintamos cuatro caras de rojo, necesariamente las dos restantes fueron pintadas de azul. Es igual al caso 2 intercambiando los roles de rojo y azul: 2 cubos posibles.
5-Sólo una cara de azul: 1 cubo posible.
6-Todas las caras de rojo: 1 cubo posible.

Por lo tanto, la cantidad total de maneras de pintar el cubo son 1+1+2+2+2+1+1=10.

[cerrar]

Saludos

Editado: aquí tienes otra manera de pensarlo distinta a la mía  .

[filomates]

Supongamos que el dado es blanco y para cada cara tengo tres posibilidades: dejarla en blanco, pintarla de azul o pintarla de rojo. ¿Cuántos dados distintos puedo pintar?

[pierrot]

Supongamos que el dado es blanco y para cada cara tengo tres posibilidades: dejarla en blanco, pintarla de azul o pintarla de rojo. ¿Cuántos dados distintos puedo pintar?

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Spoiler

Sugerencia:

Discutir primero según la cantidad de caras que se dejaron en blanco: 0, 1, 2, 3, 4, 5 ó 6. Para cada una de esas posibilidades, hacer un análisis de casos idéntico al de mi post anterior. Por último, sumar todos los cubos posibles:

\( 10+10+14+10+6+2+1=53 \)

[cerrar]

Saludos

Editado: al parecer, tengo un error (). Debieran ser 57. Ya revisaré mi cálculo cuando tenga oportunidad.