[Gaussa]

Hola.

a) Consideremos \( \{A_n\}n\geq{1} \) una sucesión de sucesos de \( S \) (espacio de sucesos), tal que verifica que es un sistema completo de sucesos, es decir, son incompatibles dos a dos y \( \Omega=\cup_{n=1}^{\infty}^{A_n} \). Sea \( \{x_n\} \) una sucesión de números reales, entonces la función \( X(w)=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}x_nI_A_n(w) \) es una variable aleatoria

¿Cómo va esta función? Para probar que es variable aleatoria, según la definición debería demostrar que \( \{X=x_i\}=\{w\in{\Omega:X(w)=x_i}\}\in{S} \).

b) Toda variable aleatoria discreta \( X \) que toma los valores \( x_1,x_2,...,x_n,... \) y que suponemos distintos entre sí, admite una represenatción de la forma \( X(w)=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{x_nI_{A_{n}}(w)} \) . Comprueba que es un espacio de sucesos.

Debería demostrar que la intersección es vacía y que  \( \Omega=\cup_{n=1}^{\infty}^{A_n} \), ¿no?

Saludos y muchas gracias

[Luis Fuentes]

Hola

 Observa que la función \( I_A \) es la función indicatriz del conjunto \( A \), es decir:

\(  I_A(x)=\begin{Bmatrix} 1 & \mbox{ si }& x\in A\\0 & \mbox{si}& x\not\in A\end{matrix} \)

 De ahí deduce que:

\(  X^{-1}(x_i)=\{w\in \Omega:X(w)=x_i\}=A_i \)

 Con esto se resuelven ambos apartados.

Saludos.

[Gaussa]

Hola.

Muchas gracias.

Para el primero, ¿es sólo porque \(  X^{-1}(x_i)=\{w\in \Omega:X(w)=x_i\}=A_i\in{ S} \)?

Es que creo que la suma me despista

Y para el b), es por construcción, ¿no? Debería llegar a que

\( \{w\in \Omega:X(w)=x_i\}\cap{\{w\in \Omega:X(w)=x_j\}}=\emptyset \)

Y \( \cup{\{w\in \Omega:X(w)=x_i\}=\Omega} \)

Saludos