[Michel]

Sea ABCD un rectángulo.
Sobre el lado AB se toma un punto P tal que AP=AD y sobre el lado AD un punto Q tal que AQ=AB. Si BD=6, hallar el área del cuadrilátero APCQ.

[john_reuer]

Sea \( ABCD \) un rectángulo. Entonces \( AB = CD \) y \( AD = BC \).
En el lado \( AB \) toma un punto \( P \) de modo que \( AP \leq AB \), y como \( AP = AD \), entonces \( AD \leq AB \).
Ahora, toma un punto \( Q \) en el lado \( AD \) de manera que \( AQ \leq AD \), y por lo anterior, \( AQ = AB \leq AD \). De aquí concluyes que \( AB = AQ = AD = AP \). O sea, en realidad debes calcular el área de un cuadrado \( ABCD \) cuya diagonal \( BD \) es igual a \( 6 \).

Spoiler

Por Teorema de Pitágoras, \( (AB)^{2} + (AD)^{2} = 6^{2} \); pero \( AB = AD \). Entonces tenemos que
\( \displaystyle 2(AB)^{2} = 6^{2} \Longrightarrow \sqrt{2} AB = 6 \Longrightarrow AB = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3 \sqrt{2} \)

Luego, \( Area_{_{ABCD}} = (AB)^{2} = (3 \sqrt{2})^{2} = 18. \)

[cerrar]

[Michel]

Se deslizó un error en el enunciado del problema. E¡ enunciado correcto es:

Sea ABCD un rectángulo.
Sobre el lado AB se toma un punto P tal que AP=AD y sobre la prolongación del lado AD un punto Q tal que AQ=AB. Si BD=6, hallar el área del cuadrilátero APCQ.

Saludos

[Michel]

Sea AB=a y AD=b. Entonces AP=AD=a y AB=AQ=a.

El cuadrilátero APCQ es la suma de los triángulos APC y ACQ.

En el primero tomamos como base AP=b y altura BC=b; el área será \( \displaystyle\frac{1}{2}b^2 \)

En el segundo tomamos como base AQ=a y altura CD=a; el área será \( \displaystyle\frac{1}{2}a^2 \)

El área pedida será:  \( \displaystyle\frac{1}{2}(b^2+a^2) \)

Por Pitágoras  \( a^2+b^2=BD^2=36 \)

Por tanto el área de APCQ será 18.