[Mburucuya]

Buenos días, pido disculpas si el latex está desprolijo y si el título del tema es muy largo. Quería pedir ayuda con la demostración de un enunciado en el que me tranqué.

Sean \( f, g :\mathbb{R}\rightarrow{\mathbb{R}} \) dos funciones, si \( f \) no tiene raíces \( \Rightarrow{f\circ{g}} \) no tiene raíces.

Primero reescribí las funciones, de forma que \( f: A\rightarrow{B} \) y \( g: B\rightarrow{C} \), pero los dominios y codominios siguen siendo \( \mathbb{R} \).
Para que \( f \) no tenga raíces, no debe existir ningún \( x\in{A} \) tal que \( f(x)=0 \), es decir que la función no es sobreyectiva. Entonces, quizás podría intentar hallar un absurdo y forzar que ese \( x \) exista. Si se agarra un \( a\in{A} \) cualquiera y se hace \( f\circ{g}_{(a)} \), ¿cómo puedo garantizar que \( g(a) \) va a ser el \( x \)? Creo que me he salteado muchos pasos antes de llegar a la pregunta.

Saludos!

[david__bernal]

Hola.
No puedo ayudar mucho porque estoy con el celu.
Lo que sí que creo que puedo decir es que si compones una funcion que no tiene raices con otra función cuidando de que su imagen esté incluido en el dominio de la primera, entonces está no va a tener raices, ya que la puedes ver si quieres como la misma función nada más que restringida a la imagen de la función con la que la compusiste.

[Mburucuya]

Buenas, David. No pasa nada, igualmente tu comentario ayudó un poco a mover las ideas.
Teniendo en cuenta que ambas funciones comparten el mismo conjunto como dominio, entonces lo que dices debería de cumplirse sin problemas. Un ejemplo sería si \( f(x)=x^2+1 \), que no tiene raíces en los reales. Ahora la cuestión es escribirlo, y se me ocurre que simplemente sería aclarar que como \( g(a)\in{R} \) y la primera función no tiene raíces, entonces no hay un elemento que haga que la composición \( f\circ{g} \) tenga raíces.

Por un lado quedo satisfecha con esta forma de verlo (porque lo entendí aunque capaz lo escribí acá entreverado), pero el ejercicio estaba en un apartado de ejercicios para estudiar la biyección de funciones. Quizá alguien pueda aportar algo desde ese lado también.

Gracias.

[Masacroso]

Buenos días, pido disculpas si el latex está desprolijo y si el título del tema es muy largo. Quería pedir ayuda con la demostración de un enunciado en el que me tranqué.

Sean \( f, g :\mathbb{R}\rightarrow{\mathbb{R}} \) dos funciones, si \( f \) no tiene raíces \( \Rightarrow{f\circ{g}} \) no tiene raíces.

Primero reescribí las funciones, de forma que \( f: A\rightarrow{B} \) y \( g: B\rightarrow{C} \), pero los dominios y codominios siguen siendo \( \mathbb{R} \).
Para que \( f \) no tenga raíces, no debe existir ningún \( x\in{A} \) tal que \( f(x)=0 \), es decir que la función no es sobreyectiva. Entonces, quizás podría intentar hallar un absurdo y forzar que ese \( x \) exista. Si se agarra un \( a\in{A} \) cualquiera y se hace \( f\circ{g}_{(a)} \), ¿cómo puedo garantizar que \( g(a) \) va a ser el \( x \)? Creo que me he salteado muchos pasos antes de llegar a la pregunta.

Saludos!

Es más sencillo hacer una demostración por contraposición, es decir, demostrar que una implicación \( A\implies B \) es verdadera es equivalente a demostrar que la implicación \( \lnot B \implies \lnot A \) es verdadera. En tu caso puedes tomar

\[
\begin{align*}
A&\equiv f\text{ no tiene raíces }\equiv \nexists x: f(x)=0\\
B&\equiv f\circ g\text{ no tiene raíces }\equiv \nexists x:(f\circ g)(x)=0
\end{align*}
\]

Por tanto

\[
\begin{align*}
&\lnot A\equiv \lnot (\nexists x: f(x)=0)\equiv \exists x: f(x)=0\\
&\lnot B\equiv \lnot (\nexists x:(f\circ g)(x)=0)\equiv \exists x:(f\circ g)(x)=0\\[1em]
\therefore\quad &\lnot B \implies \lnot A\equiv (\exists x: (f\circ g)(x)=0)\implies (\exists x: f(x)=0)
\end{align*}
\]

Entonces el ejercicio es equivalente a demostrar \( (\exists x: (f\circ g)(x)=0)\implies (\exists x: f(x)=0) \), para dos funciones reales \( f \) y \( g \), que es bastante trivial. La parte más difícil de todo esto es conocer cómo actúa el operador negación lógica (\( \lnot  \)) sobre proposiciones, en este caso conocer que \( \lnot (\nexists x: P(x))\equiv \exists x:P(x) \), para una relación lógica \( P \) cualquiera (el símbolo \( \equiv  \) aquí lo estoy usando para denotar que las expresiones a izquierda y derecha de tal símbolo son lógicamente equivalentes).

Demostración

Si \( \lnot B \) es cierto entonces existe un \( x\in \mathbb{R} \) tal que \( (f\circ g)(x)=0 \). Ahora bien, si llamamos \( y:=g(x) \) entonces tenemos que \( f(y)=f(g(x))=(f\circ g)(x)=0 \), es decir, que si \( f\circ g \) tiene raíces entonces hemos demostrado que \( f \) tiene necesariamente raíces.∎

[cerrar]

[delmar]

Hola Mburucuya, bienvenida al foro

Buenos días, pido disculpas si el latex está desprolijo y si el título del tema es muy largo. Quería pedir ayuda con la demostración de un enunciado en el que me tranqué.

Sean \( f, g :\mathbb{R}\rightarrow{\mathbb{R}} \) dos funciones, si \( f \) no tiene raíces \( \Rightarrow{f\circ{g}} \) no tiene raíces.

Primero reescribí las funciones, de forma que \( f: A\rightarrow{B} \) y \( g: B\rightarrow{C} \), pero los dominios y codominios siguen siendo \( \mathbb{R} \).
Para que \( f \) no tenga raíces, no debe existir ningún \( x\in{A} \) tal que \( f(x)=0 \), es decir que la función no es sobreyectiva. Entonces, quizás podría intentar hallar un absurdo y forzar que ese \( x \) exista. Si se agarra un \( a\in{A} \) cualquiera y se hace \( f\circ{g}_{(a)} \), ¿cómo puedo garantizar que \( g(a) \) va a ser el \( x \)? Creo que me he salteado muchos pasos antes de llegar a la pregunta.

Saludos!

La idea que tienes me parece correcta se supone que \( f\circ{g} \) tiene por lo menos una raíz a por definición \( (f\circ{g})(a)=0\Rightarrow{f(g(a))=0} \) pero \( g(a)\in{R} \) y por definición de raíz, g(a) es una raíz de f lo cual contradice a que f no tiene raíces, absurdo; luego \( f\circ{g} \) no tiene raíces.

Saludos

[david__bernal]

Tal cual dijo Masacroso.
Me olvidé de la definición de composición y lo definí en mi cabeza de otra manera.
De paso añado lo que debería haber dicho:
Dadas las aplicaciones \( f: D \subset \mathbb{R} \rightarrow R \), \( g: E \subset \mathbb{R} \rightarrow R \), con \( f \) sin raices. Entonces, si \( (f \circ g)(x) = 0 \) para algun \( x \in E \), entonces \( f(g(x)) = 0 \).

[Mburucuya]

Buenas noches a todos, gracias por sus respuestas. Salí de clases hace poco y por fin puedo sentarme a contestar.

Es más sencillo hacer una demostración por contraposición, es decir, demostrar que una implicación \( A\implies B \) es verdadera es equivalente a demostrar que la implicación \( \lnot B \implies \lnot A \) es verdadera.

Justo el profesor mencionó esto, lo dijo como un sí y solo sí. Nunca había manejado ni leído el operador de negación lógica antes, así que me tomó un poco digerir el planteo pero igualmente hice la prueba que quedó al final (y que abajo está la demostración). Sin embargo, no entiendo por qué \( \lnot B \Longrightarrow{\lnot A} \) es equivalente a \( A\Longrightarrow{B} \). ¿Qué es lo que hay detrás de eso? Me da curiosidad.

Hola Mburucuya, bienvenida al foro
La idea que tienes me parece correcta se supone que \( f\circ{g} \) tiene por lo menos una raíz a por definición \( (f\circ{g})(a)=0\Rightarrow{f(g(a))=0} \) pero \( g(a)\in{R} \) y por definición de raíz, g(a) es una raíz de f lo cual contradice a que f no tiene raíces, absurdo; luego \( f\circ{g} \) no tiene raíces.

Saludos

Gracias delmar :) la demo que hiciste creo que es lo que se esperaba que hiciéramos los estudiantes, es sencilla de plantear. Y gracias David por pasarte nuevamente y agregar los mapas.

[ani_pascual]

Hola:

...

Sin embargo, no entiendo por qué \( \lnot B \Longrightarrow{\lnot A} \) es equivalente a \( A\Longrightarrow{B} \). ¿Qué es lo que hay detrás de eso? Me da curiosidad.
...

La tabla de verdad de la implicación
\( A\Longrightarrow B \) es la misma que la de la proposición \( \neg A\vee B \), que coincide con la de \( B\vee \neg A \) y con la de \( \neg(\neg B)\vee \neg A \), que es la de la implicación \( \neg B\Longrightarrow \neg A \).
Así \( A\Longrightarrow B\textcolor{blue}{\longleftrightarrow }\neg B\Longrightarrow \neg A \)
Saludos