Hola,
Estaba esperando a ver si contestaba alguien que tuviera esto más fresco, pero como pasan los días y nadie lo hace, te contesto yo.
La \( \delta(t) \)=0 si \( t\neq{0} \) y en t=0 vale \( \infty \), hasta aqui bien.
Hombre, para mí eso no está bien, más que nada porque no tiene sentido y no corresponde con las propiedades que tiene bajo la integral. Ya sé que es la manera habitual de definir la delta de Dirac (de manera informal) entre los ingenieros y los físicos, pero el único sentido matemático que se le puede dar a eso es diciendo que la delta de Dirac es el límite de una sucesión de funciones cuya integral (extendida a todo \( \mathbb{R} \)) es 1 y cuyo límite puntual es 0 para \( t \neq 0 \) y \( + \inf \) para \( t=0 \) (estoy seguro de que alguna vez te han dibujado la típica sucesión de gaussianas o de funciones rectangulares que tienden a la delta). El problema es que una delta de Dirac, rigurosamente hablando, no es una función, sino una distribución, y ese límite de funciones en efecto converge a una delta de Dirac pero
en el sentido de las distribuciones, que es una convergencia distinta que la puntual de funciones.
De todas maneras, si no has visto distribuciones (que es lo más normal) todo este rollo te dará igual. En cualquier caso, contestando a tu pregunta, no tiene sentido (matemático) preguntarse por el valor de la delta de Dirac en t=0. Lo que sí es cierto, y lo más parecido que se me ocurre a lo que preguntas es que \( \int_{-\infty}^{+ \infty} A \delta(t) dt = A \) (o incluso cuando el intervalo de integración es cualquiera que contenga al 0). Pero lo de evaluar una delta de Dirac en 0 y esperar que de algo finito (de tu ejemplo se deduciría que \( \delta(0)=1 \)) es algo que no he visto nunca, ni en libros de matemáticas, ni en libros de física, ni en la carrera de física.
Saludos
