[Michel]

Sea AB un diámetro fijo de la circunferencia de centro O y radio r. Por un punto P del segmento AB se trazan dos cuerdas MPN y M’PN’ que forman ángulos de 45º con AB.
a) Demostrar que las cuerdas M’N y MN’ tienen una longitud constante cualquiera que sea el punto P. Hallar esta longitud, así como \( PM^2+PN'^2 \).
b) ¿Cuándo será isósceles el triángulo PM’N?
c) Construir el punto P para que el triángulo M’NP tenga en N un ángulo de 30º. Hallar en este caso las longitudes NN’ y M’N’.

[Michel]

a) La figura es simétrica respecto de AB; entonces las cuerdas M’N y MN’, y por tanto sus arcos correspondientes, son iguales. El ángulo M’PN es interior y vale la semisuma de los arcos que abarca, por lo que el arco M’N es de 90º; por tanto la cuerda M’N, y también la cuerda MN’, será igual al lado del cuadrado inscrito en la circunferencia, y valdrá \( r\sqrt[ ]{2} \).
\( PM^2+PN'^2=M'N^2=2r^2 \)

b) El triángulo PM’N será isósceles cuando el punto P coincida con el centro O de la circunferencia.
c) Si el ángulo N vale 30º, como es inscrito, abarcará un arco de 60º y entonces la cuerda M’M será el lado del hexágono inscrito y será \( QP=\displaystyle\frac{M'M}{2}=\displaystyle\frac{r}{2} \).
El arco NN’ vale \( 360º-(60º+2x90º)=120º \), por lo que el segmento NN’ es el lado del triángulo equilátero inscrito y valdrá \( NN'=r\sqrt[ ]{3} \).

\( M'N'=M'P+PN \)

Como \( M'P=\displaystyle\frac{M'N}{2}=\displaystyle\frac{3\sqrt[ ]{2}}{3} \) y \( PN=\displaystyle\frac{r\sqrt[ ]{6}}{2} \) será \( M'N'=\displaystyle\frac{r(\sqrt[ ]{2}+\sqrt[ ]{6}}{2} \)