\( M \)= {El conjunto de haces vectoriales sobre \( X \)}
\( N= \) {El conjunto de haces vectoriales sobre \( Y \)}.
\( M \) y \( N \) son categorías, donde los objetos son haces vectoriales y los morfismos son homomorfismos de haces vectoriales.
Definición de haz vectorial.
Los espacios vectoriales que mencionaremos serán \( \mathbb{C} \) espacios vectoriales finitos dimensionales.
Sean \( E \) y \( X \) espacios topológicos.
Un haz vectorial sobre \( X \) es una triada \( (E,p,X) \) tal que:
1) La aplicación \( p:E\longrightarrow{X} \) es continua y sobreyectiva.
2) Para cada \( x\in{X} \), \( P^{-1}(x)=E_x \) tiene una estructura de espacio vectorial finito dimensional que es compatible con la topología relativa de \( E_x \) en \( E \).
\( p \) es llamada la aplicación proyección.
\( E \) es llamado el espacio total.
\( X \) es llamado espacio base.
\( E_x \) es llamada la fibra sobre \( x \) del haz vectorial.
Definición.
Sean \( a=(E,p,X) \) y \( b=(F,q,X) \) dos haces vectoriales sobre \( X \) y \( E_x \), \( F_x \) sus respectivas fibras sobre \( x \).
Decimos que \( h:a\longrightarrow{b} \) es un homomorfismo de haces vectoriales si la aplicación \( f:E\longrightarrow{F} \) es continua y \( q\circ{f}=p \).
Para cada \( x\in{X} \), \( f_x:E_x\longrightarrow{F_x} \) es una aplicación lineal de espacios vectoriales.
Definición.
Un homomorfismo de haces vectoriales \( h:a\longrightarrow{b} \) es un isomorfismo si \( f:E\longrightarrow{F} \) es un homeomorfismo. En este caso decimos que \( a \) y \( b \) son isomorfos.
Definición.
Sea \( a=(E,p,X) \) un haz vectorial sobre \( X \) y \( f:Y\longrightarrow{X} \) una aplicación continua, entonces \( f \) induce un haz sobre \( Y \) que lo denotaremos \( f^*a=(f^*E,p^*,Y) \) donde \( f^*E=\left\{{(y,e)\in{Y\times{E}} / f(y)=p(e)}\right\} \)
Probar que \( F:M\longrightarrow{N} \) es un funtor covariante.
En efecto:
Tomemos un \( a=(E,p,X)\in{M} \) tal que \( Fa=f^*a=(f^*E,p^*,Y) \) donde \( f:Y\longrightarrow{X} \) continua, vemos que \( F \) esta bien definido.
Me falta probar las propiedades de funtor covariante.
i) Un objeto \( Fa \) de \( N \) para cada objeto \( a \) de \( M \)
ii) Un morfismo \( F(h):Fa\longrightarrow{Fb} \) de \( N \) para cada morfismo \( h:a\longrightarrow{b} \) de \( M \).
Estas asignaciones deben cumplir las siguientes condiciones:
a)\( F(1_a)=1_{Fa} \)
b) \( F(ba)=F(b)F(a) \)
Espero alguna sugerencia, muchas gracias.
Saludos.
