[Michel]

Construir un pentágono conociendo los puntos medios de los lados.

[oveka]

Sea la base de pentágono abajo y horisontal. Las vertices de base son #1 y #2.
Mas arribo es la #5. Otros #3, #4.
Paralelmente al segmento 34 tras el vertice 5 rayamos una recta.
Paralelmente al segmento 15 tras el vertice 3 (izquierdo) rayamos otra recta.
Se cruzando dan un punto hallado.

[Michel]

Perdona, oveka, no entiendo lo que explicas.

Sería conveniente que hicieras la figura, esencial en los problemas de geometría.

Un saludo.

[oveka]

Mi intento pegaaaar un dibujo.



Corregido por la administración. Entre [img] e [/img] debes de poner la dirección del archivo, que puede ser obtenida pinchando sobre el con el botón derecho del ratón.

[Michel]

Hola oveka.

Creo que no has entendido el enunciado del problema; dice: CONSTRUIR UN PENTÁGONO CONOCIENDO LOS PUNTOS MEDIOS DE LOS LADOS.

En primer lugar, consideras que el pentágono es regular, lo cual no es cierto; eso sería un caso particular.

En segundo lugar, consideras conocidos los vértices (de 1 a 5) del pentágono que se pide, (cuando en realidad lo que se conoce son los puntos medios de los lados) y a partir de esos puntos haces la construcción.

Debes partir de cinco puntos (que son los puntos medios de los lados y que no tienen por qué ser vértices de un pentágono regular) y a partir de estos hacer la construcción.

¿Me entiendes?  Saludos.

[oveka]

!Hola!
Entiendo "solamente los puntos".
Que lástimo, el trabajo desapareciό.

[Michel]

Para resolver este problema hay que utilizar, entre otras cosas,:
1. Los puntos medios de los lados de un cuadrilátero cualquiera son vértices de un paralelogramo (teorema de VARIGNON), propuesto hace unos días .
2. Construir un triángulo conocidos los puntos medios de sus lados.

Partir del problema resuelto, es decir, de la figura completa, y reducir el problema a otro más sencillo y conocido.

[Michel]

Suponiendo el problema resuelto, ésta sería la figura, donde M, N, P, Q y R son los puntos dados, y hemos de construir el pentágono ABCDE. Estudiamos esta figura.

Consideramos el cuadrilátero ABDE; como los puntos medios de los lados de un cuadrilátero son vértices de un paralelogramo, RMSQ es ese paralelogramo.

Por otra parte, S, N y P  son los puntos medios de los lados del triángulo BCD.

De estas consideraciones se obtiene el camino a seguir para construir el pentágono ABCDE a partir del MNPQRS.

Hay que tener en cuenta que SÓLO CONOCEMOS DE ENTRADA LOS PUNTOS M, N, P, Q y R. lo demás hay que irlo construyendo según una secuencia que se obtiene de las consideraciones anteriores.

No sé si la explicación está suficientemente clara; ya me lo diréis.

Saludos.

[Michel]

A partir de los puntos Q,R,M construyo el punto S.

Trazo por P la paralela a SN y por N la paralela a SP.

El punto C de intersección de estas dos rectas es un vértice del pentágono pedido.

El simétrico de C respecto de N es el vértice B.

El simétrico de B respecto de M es el vértice A.

Ya es inmediato seguir.

Saludos.