[Gaussa]

¡Hola!

Necesito ayuda con los dos siguientes problemas:

Comprueba que los planos \( -x+2ay-2az=0 \) y \( x+ay-az=0 \) se cortan en una recta r que pasa por el origen, cualquiera que sea el valor de \( a\neq{0} \). Calcula la posición relativa de r con el plano \( 12x- (a+3)y+2z=0 \) para los diferentes valores de \( a\neq{0} \).

Aquí lo que sé es que el rango de la matriz M y de la ampliada debe ser 2 para que ambos planos se corten en una recta, pero tanto parámetro creo que me despista.

Halla el valor de m que hace que el plano \( mx+10y+4z=11 \) contenga a la recta \( r: 2x+3y+z=2, 2x+3y+z=3 \).

Para que el plano contenga a la recta tiene que ocurrir lo mismo que en el ejercicio anterior, pero cuando calculo el determinante de la matriz me da cero, pues las dos primeras filas son iguales.

Saludos y muchas gracias.

[aladan]

Hola Fátima

1.- El rango de la matriz

                               \( \begin{pmatrix}{-1}&{2a}&-2a\\{1}&{a}&-a\end{pmatrix} \)

es 2 e independiente del valor de \( a \) por tanto los planos definen una recta \( r \), si aplicas la teoría llegarás a su forma paramétrica

                  \( r\equiv{}\begin{Bmatrix} x=0 \\y=\lambda\\z=\lambda\end{matrix}:\forall{\lambda\in{\mathbb{R}}} \)

para \( \lambda=0 \) tenemos el punto \( P(0,0,0)\in{r} \)

Para la posición relativa de \( r \) y el plano \( 12x-(a+3)y+2z=0 \) nota que al menos el punto \( P \) es común a ambos, ¿compartirán algún otro?, piensalo.

2.- Si no te has equivocado con el enunciado en este no hay recta ya que los planos son paralelos.

Saludos

[Gaussa]

¡Ya entendí el problema y me ha salido!

El segundo supongo que será un fallo del libro (suele tenerlos), pues la solución que este pone es \( m=7 \), y repasé el enunciado y sí lo copié bien.

¡Muchas gracias Aladan!

Saludos.