[Juan Hernández]

En la prueba de un teorema consideran el forcing \( \mathbb{C}(\alpha)=\{p:\alpha\to\mathbb{C}\mid \left|sop(f)\right|<\aleph_0\} \) donde \( \mathbb{C}=\{p:n\to\omega\mid n\in\omega\} \).
Se afirma que si \( G \) es un filtro \( \mathbb{C}(\alpha) \)-genérico sobre un modelo \( M \) y \( \sigma_G:\omega\to\omega\in M[G] \), entonces para cada \( n\in\omega \), el conjunto
\(
   D_n=\{p\in\mathbb{C}(\alpha)\mid \exists m\in\omega: p\Vdash\sigma(\check{n})=\check{m}\}
 \)
es denso en \( \mathbb{C}(\alpha) \). ¿Cómo se puede realizar la prueba de esto?. He intentado pero no me ha salido.

[Carlos Ivorra]

En la prueba de un teorema consideran el forcing \( \mathbb{C}(\alpha)=\{p:\alpha\to\mathbb{C}\mid \left|sop({\color{red}p})\right|<\aleph_0\} \) donde \( \mathbb{C}=\{p:n\to\omega\mid n\in\omega\} \).
Se afirma que si \( G \) es un filtro \( \mathbb{C}(\alpha) \)-genérico sobre un modelo \( M \) y \( \sigma_G:\omega\to\omega\in M[G] \), entonces para cada \( n\in\omega \), el conjunto
\(
   D_n=\{p\in\mathbb{C}(\alpha)\mid \exists m\in\omega: p\Vdash\sigma(\check{n})=\check{m}\}
 \)
es denso en \( \mathbb{C}(\alpha) \). ¿Cómo se puede realizar la prueba de esto?. He intentado pero no me ha salido.

No te ha salido porque no es cierto. Ahora bien, si tienes \( f: \omega\longrightarrow \omega \) con \( f\in M[G] \), existe un nombre \( \sigma \) tal que \( f = \sigma_G \) y además \( 1\Vdash \sigma: \omega\longrightarrow \omega \), y si eliges \( \sigma \) con esta propiedad adicional, la conclusión ya es correcta.

¿Seguro que, en tu contexto, no puedes exigir que \( \sigma \) cumpla esta condición?

[Juan Hernández]

Lo afirman en esta prueba, ¿o lleva implícita la condición de que el máximo forza que es una función?.

[Carlos Ivorra]

Tal cual está enunciado ahí, eso no es cierto. Schlinder trata de comprimir todo al máximo, y a veces afirma más de lo que puede demostrar. Se puede arreglar fácilmente, pero tal cual, no es cierto. Te puedo poner un contraejemplo.

En ese contexto, cuando toma \( \tau \) de modo que \( x = \tau_G \), se puede suponer sin pérdida de generalidad que \( 1\Vdash \tau: \omega\longrightarrow \omega \), y entonces lo que preguntas sale fácilmente.

Para probar que esto se puede hacer es necesario un resultado fundamental, que afirma que si \( p\Vdash \exists x\,\phi(x) \), entonces existe un nombre \( \tau \) tal que \( p\Vdash \phi(\tau) \). He ojeado el libro de Schlinder y no veo que esto esté demostrado en ningún sitio (me bastaría el caso \( p = 1 \)). Si tú estás siguiendo el libro, igual sabes mejor que yo si está demostrado en alguna parte, o si, en cualquier caso, conoces el resultado y puedes usarlo.

Sin pasar por ahí, no sabría justificarte que lo que hace es correcto. De hecho, puedo ponerte un ejemplo de que, eligiendo mal el nombre, la conclusión es falsa.

[Juan Hernández]

Si, el resultado es un Corolario al conocido Lema de Verdad que dice que \( p\Vdash\exists x\varphi(x) \) si y solo si el conjunto \( \{q\mid \exists\sigma\in M^\mathbb{P}\varphi(\sigma)\} \) es denso por debajo de \( p \) y dado que \( p\leq p \) se cumple lo deseado, ¿estoy en lo correcto?
Sin embargo, el resultado no lo prueba Schlinder en su libro.
Ahora, me queda la duda de ¿por qué se puede suponer sin perder generalidad que \( 1\Vdash \tau:\omega\to\omega \)?

[Carlos Ivorra]

Suponemos que \( x\in M[G] \) cumple \( x:\omega\longrightarrow \omega \). Pongamos que \( x = \rho_G \), para cierto nombre \( \rho \). Entonces,

\( 1\Vdash \exists x(x:\omega\longrightarrow \omega\land (\rho:\omega\longrightarrow \omega\rightarrow x = \rho)) \).

En efecto, para probar que esto es cierto basta ver que si \( H \) es cualquier filtro genérico, se cumple:

\( \exists x(x:\omega\longrightarrow \omega\land (\rho_H:\omega\longrightarrow \omega\rightarrow x = \rho_H)) \)

En efecto, basta distinguir dos casos: si \( \rho_H : \omega\longrightarrow \omega \), entonces lo anterior se cumple tomando \( x = \rho_H \). En cambio, si no se cumple que \( \rho_H : \omega\longrightarrow \omega \), basta tomar como \( x \) cualquier aplicación \( \omega\longrightarrow \omega \) que esté en \( M[H] \), por ejemplo, la que vale siempre \( 0 \).

Ahora, por el resultado que comentábamos antes, existe un nombre \( \tau \) tal que

\( 1\Vdash \tau:\omega\longrightarrow \omega\land (\rho:\omega\longrightarrow \omega\rightarrow \tau = \rho)) \).

En particular, esto es cierto en \( M[G] \), es decir:

\( \tau_G:\omega\longrightarrow \omega\land (\rho_G:\omega\longrightarrow \omega\rightarrow \tau_G = \rho_G)) \).

Pero en \( M[G] \) sabemos que \( \rho_G: \omega\longrightarrow \omega \), luego tenemos que \( \tau_G = \rho_G \), luego, sin pérdida de generalidad, podemos tomar \( \tau \) como nombre de la aplicación dada \( x \), y así se cumple que

\( 1\Vdash \tau:\omega\longrightarrow \omega. \)

[Juan Hernández]

Ya con este argumento, se probaría así la densidad del conjunto \( D_n \) para cada \( n\in\omega \):

Fijemos \( n\in\omega \) arbitrario y \( p\in\mathbb{C}(\alpha) \). Por hipótesis, \( 1 \) fuerza que \( \sigma \) es una sucesión de números naturales y como \( p\leq 1 \), \( p \) fuerza la misma condición. Cómo \( n\in\omega \), \( p\Vdash\exists m<\omega:\sigma(\check{n})=\check{m} \), luego el conjunto
\(
\{q\in\mathbb{C}(\alpha)\mid\exists m<\omega: q\Vdash \sigma(\check{n})=\check{m}\}
 \)
es denso por debajo de \( p \). Dado que \( p\leq p \), existe \( q\leq p \) tal que existe \( m<\omega \) tal que \( q\Vdash\sigma(\check{n}=\check{m} \), así \( q\in D_n \) y \( q\leq p \).

¿Es correcto?

[Carlos Ivorra]

Ya con este argumento, se probaría así la densidad del conjunto \( D_n \) para cada \( n\in\omega \):

Fijemos \( n\in\omega \) arbitrario y \( p\in\mathbb{C}(\alpha) \). Por hipótesis, \( 1 \) fuerza que \( \sigma \) es una sucesión de números naturales y como \( p\leq 1 \), \( p \) fuerza la misma condición. Cómo \( n\in\omega \), \( p\Vdash\exists m<\omega:\sigma(\check{n})=\check{m} \), luego el conjunto
\(
\{q\in\mathbb{C}(\alpha)\mid\exists m<\omega: q\Vdash \sigma(\check{n})=\check{m}\}
 \)
es denso por debajo de \( p \). Dado que \( p\leq p \), existe \( q\leq p \) tal que existe \( m<\omega \) tal que \( q\Vdash\sigma(\check{n}=\check{m} \), así \( q\in D_n \) y \( q\leq p \).

¿Es correcto?

Sí. Una alternativa (tal vez menos técnica) es usar extensiones genéricas: dada una condición \( p \), tomamos un filtro genérico \( G \) tal que \( p\in G \), y entonces en \( M[G] \) se cumple que \( \sigma_G: \omega\longrightarrow \omega \), luego existe un \( m\in \omega \) tal que \( \sigma_G(n) = m \), luego existe una condición \( q\in G \) tal que \( q\Vdash \sigma(\check n)=\check m \) y, como \( G \) es un filtro y \( p, q\in G \), podemos cambiar \( q \) por una extensión común y suponer que \( q\leq p \), lo que prueba que el conjunto es denso.

[Juan Hernández]

Cierto.
Si \( \mathbb{P}=\mathbb{C}(\alpha) \), dado \( p\in\mathbb{P} \), como \( M \) es numerable, existe un filtro \( G \) que es \( \mathbb{P} \)-genérico sobre \( M \) y \( p\in G \). Por otro lado, como \( 1\in G \) y \( 1\Vdash\sigma:\omega\to\omega \), se tiene que \( M[G]\vDash \sigma_G:\omega\to\omega \) y puesto que \( n\in\omega \), existe \( m<\omega \) tal que \( \sigma_G(n)=m \). Por el Lema de Verdad, existe \( q\in G \) tal que \( q\Vdash\sigma(\check{n})=\check{m} \). Ahora, \( p,q\in G \) y \( G \) es filtro, por lo que existe \( d\in G \) tal que \( d\leq p \) y \( d\leq q \), por tanto \( d\leq p \) y \( d\Vdash\sigma(\check{n})=\check{m} \). Esto es, \( d\in D_n \) y \( d\leq p \). Por lo tanto, \( D_n \) es denso en \( \mathbb{P} \) para cada \( n\in\omega \).

[Carlos Ivorra]

Cierto.
Si \( \mathbb{P}=\mathbb{C}(\alpha) \), dado \( p\in\mathbb{P} \), como \( M \) es numerable, existe un filtro \( G \) que es \( \mathbb{P} \)-genérico sobre \( M \) y \( p\in G \). Por otro lado, como \( 1\in G \) y \( 1\Vdash\sigma:\omega\to\omega \), se tiene que \( M[G]\vDash \sigma_G:\omega\to\omega \) y puesto que \( n\in\omega \), existe \( m<\omega \) tal que \( \sigma_G(n)=m \). Por el Lema de Verdad, existe \( q\in G \) tal que \( q\Vdash\sigma(\check{n})=\check{m} \). Ahora, \( p,q\in G \) y \( G \) es filtro, por lo que existe \( d\in G \) tal que \( d\leq p \) y \( d\leq q \), por tanto \( d\leq p \) y \( d\Vdash\sigma(\check{n})=\check{m} \). Esto es, \( d\in D_n \) y \( d\leq p \). Por lo tanto, \( D_n \) es denso en \( \mathbb{P} \) para cada \( n\in\omega \).

Exacto.