[Apoño]

\( \displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\frac{1}{x (\sqrt[ ]{1-x^2})} \)


Segun la teoria deberia aplicar el cambio \( x=\displaystyle\frac{1}{t} \)

Y me queda

\( \displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\frac{t}{\sqrt[ ]{1-\displaystyle\frac{1}{t^2}}} \)

pero es que apartir de aqui no se seguir 

muchas gracias

[Fernando Revilla]

Repasa los cálculos, con \( x=1/t \) te ha de quedar \( -\int dt\;/(\;\sqrt[ ]{t^2-1}) \).

[Héctor Manuel]

Has hecho mal el cambio de variable:

Haciendo (como bien indicas) \( x=\displaystyle\frac{1}{t} \) se tiene \( dx=-\displaystyle\frac{1}{t^2}dt \) y
\( \displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\frac{dx}{x\sqrt[ ]{1-x^2}}=-\displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\frac{t}{\sqrt[ ]{1-\displaystyle\frac{1}{t^2}}}\displaystyle\frac{1}{t^2}dt=-\displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\frac{dt}{t\sqrt[ ]{1-\displaystyle\frac{1}{t^2}}}=-\displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\frac{dt}{\sqrt[ ]{t^2-1}} \).


Saludos

Phidias se ganó la respuesta

[Apoño]

Vaya menudo error , muchas gracias

[Apoño]

Por cierto , ahora que me fijo la integral que queda como se resuelve?

Porque la \( \displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{1-t^2}} \) Es inmediata \( arcsen x+c \) , pero la otra?

[Fernando Revilla]

Corresponde a una conocida integral que en algunos libros se incluye en la lista de "inmediatas":

\( \displaystyle\int \displaystyle\frac{dt}{\sqrt[ ]{t^2+a}}=\log \left |{t+\sqrt[ ]{t^2+a}}\right |+C\quad (a\neq{0}) \)

[Apoño]

Corresponde a una conocida integral que en algunos libros se incluye en la lista de "inmediatas":

\( \displaystyle\int \displaystyle\frac{dt}{\sqrt[ ]{t^2+a}}=\log \left |{t+\sqrt[ ]{t^2+a}}\right |+C\quad (a\neq{0}) \)

pues esa yo no la tenia en mi lista , muchas gracias

[aladan]

pues esa yo no la tenia en mi lista , muchas gracias

Puedes recurrir al cambio de variable

                         \( t=Ch\;u\Rightarrow{dt=Sh\;u\;du}  \)

recordando
                         \( Ch^2\; u-Sh^2\;u=1 \)

[Fernando Revilla]

pues esa yo no la tenia en mi lista , muchas gracias

En tal caso, puedes proceder así: haciendo el cambio \( t=\cosh u \) queda:

\( \displaystyle\int \displaystyle\frac{dt}{\sqrt[ ]{t^2-1}}=\displaystyle\int \displaystyle\frac{(\senh u)du}{\sqrt[ ]{\cosh^2 u-1}}=\displaystyle\int du=u+C=\textrm{argcosh}\; t +C \)

Ahota bien, sabido es que \( \textrm{argcosh} \;t=\log (t+\sqrt[ ]{t^2-1})\;,\quad (x\geq{1}) \).

Aladan desenfundó 28 segundos más rápido que yo.