Si cuando un $$m$$ entero cumple $$2m^2=n^2+n \qquad\to\quad m=\sqrt{\sum\limits_{i=1}^{n}}i$$ es un centro numérico
así se pueden hallar los pocos que hay , solo cuando la suma de números ascendentes hasta $$x<N$$ es igual a algún cuadrado perfecto
por fuerza bruta
suma hasta x= 1 centro= 1
suma hasta x= 8 centro= 6
suma hasta x= 49 centro= 35
suma hasta x= 288 centro= 204
suma hasta x= 1681 centro= 1189
suma hasta x= 9800 centro= 6930
suma hasta x= 57121 centro= 40391
suma hasta x= 332928 centro= 235416
suma hasta x= 1940449 centro= 1372105
suma hasta x= 11309768 centro= 7997214
suma hasta x= 65918161 centro= 46611179
y viendo si estos números x están relacionados de algún modo se llega a que
cada $$x$$ surge de una recurrencia $$x_{n+1}=6x_{n}-x_{n-1}+2$$
los $$x$$ que presenté los calculé exhaustivamente pero con la recurrencia se puede averiguar el siguiente $$x=384199200$$ mucho mas rápidamente
los primeros 100 centros
1 ) suma hasta x= 1 centro= 1
2 ) suma hasta x= 8 centro= 6
3 ) suma hasta x= 49 centro= 35
4 ) suma hasta x= 288 centro= 204
5 ) suma hasta x= 1681 centro= 1189
6 ) suma hasta x= 9800 centro= 6930
7 ) suma hasta x= 57121 centro= 40391
8 ) suma hasta x= 332928 centro= 235416
9 ) suma hasta x= 1940449 centro= 1372105
10 ) suma hasta x= 11309768 centro= 7997214
11 ) suma hasta x= 65918161 centro= 46611179
12 ) suma hasta x= 384199200 centro= 271669860
13 ) suma hasta x= 2239277041 centro= 1583407981
14 ) suma hasta x= 13051463048 centro= 9228778026
15 ) suma hasta x= 76069501249 centro= 53789260175
16 ) suma hasta x= 443365544448 centro= 313506783024
17 ) suma hasta x= 2584123765441 centro= 1827251437969
18 ) suma hasta x= 15061377048200 centro= 10650001844790
19 ) suma hasta x= 87784138523761 centro= 62072759630771
20 ) suma hasta x= 511643454094368 centro= 361786555939836
21 ) suma hasta x= 2982076586042449 centro= 2108646576008245
22 ) suma hasta x= 17380816062160328 centro= 12290092900109634
23 ) suma hasta x= 101302819786919521 centro= 71631910824649560
24 ) suma hasta x= 590436102659356800 centro= 417501372047787712
25 ) suma hasta x= 3441313796169221281 centro= 2433376321462076928
26 ) suma hasta x= 20057446674355970888 centro= 14182756556724672512
27 ) suma hasta x= 116903366249966604049 centro= 82663163018885955584
28 ) suma hasta x= 681362750825443653408 centro= 481796221556591099904
29 ) suma hasta x= 3971273138702695316401 centro= 2808114166320660480000
30 ) suma hasta x= 23146276081390728245000 centro= 16366888776367373025280
31 ) suma hasta x= 134906383349641674153601 centro= 95393218491883580293120
32 ) suma hasta x= 786292024016459316676608 centro= 555992422174934091956224
33 ) suma hasta x= 4582845760749114225906049 centro= 3240561314557720719785984
34 ) suma hasta x= 26710782540478226038759688 centro= 18887375465171389891215360
35 ) suma hasta x= 155681849482120242006652081 centro= 110083691476470618627506176
36 ) suma hasta x= 907380314352243226001152800 centro= 641614773393652321873821696
37 ) suma hasta x= 5288600036631339114000264721 centro= 3739604948885443518773854208
38 ) suma hasta x= 30824219905435791458000435528 centro= 21796014919919007416379768832
39 ) suma hasta x= 179656719395983409634002348449 centro= 127036484570628615273155919872
40 ) suma hasta x= 1047116096470464666346013655168 centro= 740422892503852596261625528320
41 ) suma hasta x= 6103039859426804588442079582561 centro= 4315500870452487261363760005120
42 ) suma hasta x= 35571123060090362864306463840200 centro= 25152582330211068157171167395840
43 ) suma hasta x= 207323698501115372597396703458641 centro= 146599993110813936318362033324032
44 ) suma hasta x= 1208371067946601872720073756911648 centro= 854447376334672585781798051512320
45 ) suma hasta x= 7042902709178495863723045838011249 centro= 4980084264897221362199644161966080
46 ) suma hasta x= 41049045187124373309618201271155848 centro= 29026058213048654578609750389293056
47 ) suma hasta x= 239251368413567743993986161788923841 centro= 169176265013394728014967445703884800
48 ) suma hasta x= 1394459165294282090654298769462387200 centro= 986031531867319704287822886979239936
49 ) suma hasta x= 8127503623352124799931806454985399361 centro= 5747012926190523571498946171009761280
50 ) suma hasta x= 47370562574818466708936539960450008968 centro= 33496046025275822167427711908108566528
51 ) suma hasta x= 276095871825558675453687433307714654449 centro= 195229263225464381098868428059770355712
52 ) suma hasta x= 1609204668378533586013188059885837917728 centro= 1137879533327510464425782856450513567744
53 ) suma hasta x= 9379132138445642840625440926007312851921 centro= 6632047936739599198813397832743706951680
54 ) suma hasta x= 54665588162295323457739457496158039193800 centro= 38654408087110081555024327651610144538624
55 ) suma hasta x= 318614396835326297905811304050940922310881 centro= 225294400585920901011664944608579732635648
56 ) suma hasta x= 1857020792849662463977128366809487494671488 centro= 1313111995428415237472306327746567672430592
57 ) suma hasta x= 10823510360262648485956958896805984045718049 centro= 7653377571984570214337163200525757577166848
58 ) suma hasta x= 63084041368726228451764625014026416779636808 centro= 44607153436479008833915761267513596313600000
59 ) suma hasta x= 367680737852094722224630791187352516632102801 centro= 259989543046889502596198032970640218690420736
60 ) suma hasta x= 2143000385743842104896020122110088683012980000 centro= 1515330104844857798769345836612441532776054784
61 ) suma hasta x= 12490321576610957907151489941473179581445777201 centro= 8831991086022257250405795729571840181193932800
62 ) suma hasta x= 72798929073921905338012919526728988805661683208 centro= 51476616411288684752927478369646548431860137984
63 ) suma hasta x= 424303252866920474120926027218900753252524322049 centro= 300027707381709893099628882019877699801172672512
64 ) suma hasta x= 2473020588127600939387543243786675530709484249088 centro= 1748689627878970531867978588187926682744416894976
65 ) suma hasta x= 14413820275898685162204333435501152431004381172481 centro= 10192110059892113379237881061714364092454333841408
66 ) suma hasta x= 84009901067264510033838457369220239055316802785800 centro= 59403970731473705524818110222550809690953318662144
67 ) suma hasta x= 489645586127688375040826410779820281900896435542321 centro= 346231714328950163904194077819625336562484376502272
68 ) suma hasta x= 2853863615698865740211120007309701452350061810468128 centro= 2017986315242227184439002903068303896135019014389760
69 ) suma hasta x= 16633536108065506066225893633078388432199474427266449 centro= 11761686177124413025806573077147440096735570977357824
70 ) suma hasta x= 96947353032694170657144241791160629140846784753130568 centro= 68552130747504253628856427129648082491892527410446336
71 ) suma hasta x= 565050582088099517876639557113885386412881234091516961 centro= 399551098307901116722699964410236292277461955167387648
72 ) suma hasta x= 3293356139495902936602693100892151689336440619795971200 centro= 2328754459099902521144111123287058553786074579293175808
73 ) suma hasta x= 19195086254887318101739519048239024749605762484684310241 centro= 13572975656291513159436049472965956372002466941171138560
74 ) suma hasta x= 111877161389828005673834421188541996808298134288309890248 centro= 79109099478649176435472185714508679678228727067733655552
75 ) suma hasta x= 652067882084080715941267008083012956100183043245175031249 centro= 461081621215603561786950677019132367939351052190104944640
76 ) suma hasta x= 3800530131114656289973767627309535739792800125182740297248 centro= 2687380627814972183397196134930254697129890148256313245696
77 ) suma hasta x= 22151112904603857023901338755774201482656617707851266752241 centro= 15663202145674228841697938678480422641848793817086477467648
78 ) suma hasta x= 129106147296508485853434264907335673156146906121924860216200 centro= 91291832246230395640053280030337482356528902602302823596032
79 ) suma hasta x= 752485770874447058096704250688239837454224819023697894544961 centro= 532087791331708172874553239666823398416972462607182346584064
80 ) suma hasta x= 4385808477950173862726791239222103351569202008020262507053568 centro= 3101234915744018440900559371194994634323841419205537702084608
81 ) suma hasta x= 25562365096826596118264043184644380271960987229097877147776449 centro= 18075321703132404881009284428810443693383649498649086511808512
82 ) suma hasta x= 148988382103009402846857467868644178280196721366567000379605128 centro= 105350695303050408347471684966237875673977609036072492698959872
83 ) suma hasta x= 868367927521229820962880764027220689409219340970304125129854321 centro= 614028850115170019513362356661338951301334554626873414792511488
84 ) suma hasta x= 5061219183024369522930427116294679958175119324455257750399520800 centro= 3578822405387969457537108538752856765875699095614023992692703232
85 ) suma hasta x= 29498947170624987316619681933740859059641496605761242377267270481 centro= 20858905582212648278554778539940152235367994780107978925792034816
86 ) suma hasta x= 171932463840725554376787664486150474399673860310112196513204102088 centro= 121574611087887918752289925369985138442647436868750829906126962688
87 ) suma hasta x= 1002095835873728338944106304983161987338401665254911936701957342049 centro= 708588760945114843774161851047329823568928968404434725327914139648
88 ) suma hasta x= 5840642551401644479287850165412821449630736131219359423698539950208 centro= 4129957954582801214044759772797333876747798343939442465546119938048
89 ) suma hasta x= 34041759472536138536782994687493766710446015122061244605489282359201 centro= 24071158966551691692205558472314379316631226744495314004111343484928
90 ) suma hasta x= 198409914283815186741410117959549778813045354601148108209237154205000 centro= 140296995844727355673788135881889589105619271279664596133659099004928
91 ) suma hasta x= 1156417726230354981911677713069804906167826112484827404649933642870801 centro= 817710816101812394460037604759996331618739802486330274712245682307072
92 ) suma hasta x= 6740096443098314704728656160459279658193911320307816319690364703019808 centro= 4765967900766147370265079883120789578344404031992031962781796756619264
93 ) suma hasta x= 39284160932359533246460259249685873042995641809362070513492254575248049 centro= 27778096588495074317435695601034135970761603508718284882429608405762048
94 ) suma hasta x= 228964869151058884774032899337655958599779939535864606761263162748468488 centro= 161902611630204287806880307661862017737796026968153392000621998392737792
95 ) suma hasta x= 1334505053973993775397737136776249878555683995405825570054086721915562881 centro= 943637573192730634133899659979471670155850232496491863696432915747438592
96 ) suma hasta x= 7778065454692903767612389921319843312734324032899088813563257168744908800 centro= 5499922827526179026597944575130533328526256679911859032181456397339197440
97 ) suma hasta x= 45333887674183428830276602391142809997850260201988707311325456290553889921 centro= 32055899391964349214077215484983170527185854628922351922151927013819023360
98 ) suma hasta x= 264225260590407669214047224425537016674367237179033155054389480574578430728 centro= 186835473524259891934096123711380529970904856163914890104102758387441205248
99 ) suma hasta x= 1540017675868262586454006744162079290048353162872210223015011427156916694449 centro= 1088956941753595065161516880650107647656137514431231149726019067951173337088
100 ) suma hasta x= 8975880794619167849509993240546938723615751740054228183035679082366921735968 centro= 6346906176997310524143412101735988411309077923254137672661433427175736868864
