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Nota: Este thread forma parte del tema

Construcción de los Sistemas Numéricos

Construcción de los Sistemas Numéricos.

Sección 3. Números Racionales.

(Continúa desde el thread-maestro...)

Introduzco estos números diciendo que en realidad no sé cómo introducirlos.
Hay muchas variantes posibles para jugar al "expositor ameno"  y no sé cuál convenga.
He aquí un par de comentarios introductorios posibles, accesibles tras abrir los desplegables.


Subsección 3.1. Lo fraccionario como parte de la necesidad de medir.

Desde un punto de vista histórico, los números racionales surgieron antes que los enteros, en la Grecia antigua.
Surgieron en el contexto de la geometría (que hoy llamamos euclidiana), más concretamente, ante la necesidad de medir magnitudes con exactitud. No obstante, el nombre exacto en este contexto sería el de proporciones.
En efecto, los griegos no hablaban de los números racionales como objetos concretamente definidos, tal como lo hacemos hoy, sino que trabajaban con proporciones de números naturales para establecer relaciones entre elementos geométricos, por ejemplo.

No obstante, también se hablaba (quizá) de fracciones iguales de una unidad entera.
Es fácil darse cuenta de cómo surgió este concepto.
En la antigüedad era importante establecer límites y medidas de terrenos, ya sea por dominio territorial o por cuestiones de agricultura, entre otras.
Para tener una idea de "cuánto" perímetro tenía el terreno de algún hombre, se utiliza una unidad básica, como el pie del faraón, o una varilla, o lo que sea, y se cuenta el número de veces que esta unidad básica y fija se repite hasta cubrir el perímetro total.
El problema con este procedimiento tan obvio y simple, es que no tiene por qué encajar un número entero de veces esa unidad elegida en forma arbitraria con la longitud que se desea medir. Por lo general sobrará una pequeña parte.
En ese caso, lo que se hace es subdividir la unidad patrón en subunidades, tomadas en partes iguales, para poder medir con más precisión los trocitos más pequeños de perímetro.
Esta subunidad aún no es satisfactoria, y puede aún necesitarse de más subdivisiones, todas cada vez más pequeñas, hasta lograr una medición exacta del perímetro buscado.

Al hacer estas subdivisiones de la unidad se introducen sin querer operaciones sobre fracciones de los números naturales, que en principio eran los únicos que existían en el mundo antiguo.

Observemos que la operación de "contar" es "discreta", vale decir, varias unidades, al contarlas, están perfectamente separadas y/o individualizadas en nuestra mente.
En cambio, el perímetro de un terreno es algo de naturaleza "continua", sus puntos no pueden separarse claramente, y se avanza a lo largo de dicho perímetro en una permanente "transición".

La comparación de dos magnitudes continuas puede, a lo mejor, llevarse a cabo por mera inspección, y ver cuál es mayor que la otra usando algún criterio simple.
Pero al pretender usar números naturales para explicar esa magnitud continua, se está usando una herramienta "discreta" para hablar de una entidad "continua". Y esto se hace bajo la creencia de que los números naturales ofrecen más exactitud o un entendimiento más preciso de lo que se está estudiando, al menos matemáticamente hablando.

"Medir" en esta forma es "contar".

Antes de los griegos dichas proporciones también han sido útiles, aunque sería interesante indagar en detalle qué cultura fue la primera en usar una expresión fraccionaria, o una proporción, o cosa similar.

Los griegos, con sus métodos avanzados de geometría, nos enseñaron a subdividir un segmento en \( n \) partes iguales, para cualquier número natural \( n \).
Como curiosidad, veamos el procedimiento:

Sea \( AB \) un segmento dado, que queremos dividir en \( n \) partes congruentes.

• Tracemos una recta \( r \) que pase por el punto \( A \) formando un ángulo menor que un llano.
• Elijamos en dicha recta un punto cualquiera \( P_1 \).
• El segmento \( AP_1 \) lo llamaremos ahora \( u \), y lo transportaremos en forma consecutiva a lo largo de la recta \( r \), tantas veces como el número \( n \), y siempre de modo que todos los segmentos así formados se toquen en uno de sus extremos.
• Quedan formados los segmentos \( P_1P_2, P_2P_3, ..., P_{n-1}P_n \).
• Observemos que ahora el segmento \( AP_n \) está en la recta \( r \), y está dividido en \( n \) partes iguales, las cuales están separadas por los puntos \( A, P_1,P_2,...,P_n \).
• Ahora unimos el punto \( P_n \) con el punto \( B \).
• Nos queda determinada una recta, que llamamos \( s \).
• Trazamos ahora rectas paralelas a \( s \), que a su vez pasen por los puntos \( P_1,...,P_n \).

Cada una de estas \( n \) rectas cortan a la recta original \( AB \) en ciertos puntos que llamamos \( C_1,...,C_n \). (El \( C_n \) coincide con \( B \), claro).
Se obtienen los \( n \) segmentos \( AC_1, C_1C_2,...,C_{n-2}C_{n-1},C_{n-1}B \).
Esos \( n \) segmentos son consecutivos, congruentes, y su unión da el segmento \( AB \).
En resumen, hemos logrado subdividir el segmento \( AB \) en \( n \) partes iguales.

¿Por qué hacer todo este procedimiento tan extraño?
Bueno, si nos ponemos a pensar un poquito, resulta que estamos muy acostumbrados a usar la regla y la división para hacer este tipo de tareas. O sea, si nos piden dividir un segmento en 5 partes iguales, lo que haríamos comunmente sería "medir" con una regla el segmento total, dividir por 5, y usar este número para medir la posición de los puntitos de la subdivisión del segmento.

Pero eso puede hacer una vez que se ha definido todo un sistema de números fraccionarios.
Los griegos no tenían eso, porque apenas los estaban inventando, y aún sin darse demasiada cuenta de que lo estaban haciendo.
Para ellos, número era sinónimo de número natural.
Medir era establecer proporciones entre números naturales.
Con esa mentalidad, dividir un segmento con las herramientas disponibles en ese entonces requería ingenio matemático.

Incluso, el método expuesto arriba es más exacto que el de medir con regla y dividir.
Por ejemplo, si quisiéramos dividir un segmento de 10 cm en 3 partes, no podríamos hacerlo con exactitud debido a los infinitos decimales que aparecen al dividir 10 por 3.
Una manera elegante y exacta de solucionarlo sería usando el procedimiento geométrico antes explicado, que permite dividir por cualquier cantidad \( n \), sin importar qué problemas pudiera haber con dígitos periódicos o alguna otra cosa.

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Subsección 3.2. Lo fraccionario como necesidad algebraica.

Supongamos que tenemos una ecuación como la siguiente en números enteros \( a, b, x \):

\( a\cdot x =b. \)

Esta ecuación es más bien una pregunta. Nos preguntamos si existe algún número entero \( x \) tal que \( a\cdot x \) sea igual a \( b \).
En algunos casos la respuesta es afirmativa, y en otras no.
Por ejemplo, la ecuación \( 3\cdot x = 72 \) tiene la solución \( x = 24 \).
En cambio, la ecuación \( 2\cdot x = 3 \) no tiene solución entera \( x \).
Supongamos que existiera una tal solución \( x \).
Resulta que \( x \) debe ser un entero positivo, porque si no \( 2\cdot x \) daría negativo, por reglas de los signos, contradiciendo que 3 es positivo.
Así que \( x  \geq 1 \).
Además, si fuese \( x \geq 2 \), por monotonía del producto de enteros, resulta que \( 2\cdot x \geq 2\cdot 2 =4=3+1>3 \).
Así que \( 2\cdot x \) no sería igual a \( 3 \) en ese caso.
Luego \( x<2 \). Pero \( 2 \) es el sucesor de \( 1 \), y también teníamos \( x \geq1 \).
Sabemos que entre un entero y su sucesor no hay otros números enteros posibles, así que sólo puede ser \( x = 1 \).
Mas, en este caso \( 2\cdot 1 = 2 < 2+1=3 \).
Así que no puede existir el \( x \) que estamos buscando. No hay solución a la ecuación \( 2\cdot x = 3 \).

Para poder resolver "siempre" este tipo de ecuaciones, se amplía el sistema de números para incluir más entidades.
Resolver una ecuación multiplicativa conduce a la operación de división.
En otras palabras, pretendemos que siempre sea posible dividir entre dos números enteros.

Pero al ampliar el sistema a un conjunto con más objetos, podría ser que estos nuevos entes, a pesar de resolver la división entre los enteros, quizá no puedan resolver divisiones entre ellos mismos.
O sea, podríamos estar pateando el problema para adelante.
No obstante, veremos que la ampliación puede hacerse de modo que no sean necesarias más ampliaciones.
Una vez resuelto el problema de la división de enteros, los objetos resultantes no ofrecen dificultades adicionales en este sentido, y tendremos un sistema "cerrado por operaciones de división".

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Subsección 3.3. Axiomas de los Números Racionales.

Los entes primitivos del Sistema Axiomático de los números racionales serán \( Q, +, \cdot, 0, 1,  \leq \).
Los Axiomas de los números racionales son los siguientes:

• Axioma 1. El quinteto \( (Q,+,\cdot,0,1) \) es un cuerpo con identidad 0 respecto la adición \( + \) e identidad 1 respecto el producto \( \cdot \).
  Los detalles de lo que esto significa se listan a continuación:
  
  Detalles del Axioma 1

  • \( Q \) es un conjunto no vacío. Se llama conjunto de números racionales.
  • \( + \) y \( \cdot \) son operaciones binarias que se aplican a elementos de \( Q \), y su resultado es de nuevo un elemento de \( Q \). Se llaman suma (ó adición) y producto (ó multiplicación).
  • Las operaciones \( +, \cdot \), son asociativas. O sea, si \( a, b, c\in Q \), entonces:
    \( (a+b)+c=a+(b+c),\quad (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c) \)
    
  • Las operaciones \( +, \cdot \), son conmutativas. O sea, si \( a, b\in Q \), entonces:
    \( a+b=b+a,\quad a\cdot b=b\cdot a \)
  • \( 0 \) y \( 1 \) son elementos de \( Q \). Además son distintos: \( 0\neq 1 \).
  • El \( 0 \) es neutro para la suma, y el \( 1 \) es neutro para el producto. O sea, si \( a\in Q \), entonces:
    \( a+0=a,\quad a\cdot 1=a \)
  • Todo elemento de \( Q \) tiene un inverso aditivo (también se llama opuesto).
    O sea, si \( a\in Q \), entonces existe \( b\in Q \) (el inverso aditivo de \( a \)) tal que \( a+b=0 \). Se denota al inverso aditivo como \( b = -a \).
  • Todo elemento de \( Q\setminus\{0\} \) tiene un inverso multiplicativo (también se llama recíproco).
    O sea, si \( a\in Q \) y \( a\neq0 \), entonces existe \( b\in Q \), \( b\neq0 \) (el inverso multiplicativo de \( a \)) tal que \( a\cdot b=1 \). Se denota al inverso multiplicativo como \( b = a^{-1} \).
  • El producto distribuye a la suma. Es decir, si \( a, b, c\in Q \), entonces:
    \( (a+b)\cdot c=(a\cdot c)+(b\cdot c) \)

  [cerrar]
  
  Podemos resumir un poco diciendo lo siguiente:
  
  • La terna \( (Q,+,0) \) es un grupo conmutativo con identidad 0.
  • La terna \( (Q\setminus\{0\},\cdot,1) \) es un grupo conmutativo con identidad 1.
  • El producto distribuye a la suma en \( Q \).
  
  
• Axioma 2. \(  \leq \) es una relación de orden total en \( Q \).
  
  Detalles del Axioma 2

  Esto quiere decir que, si \( a,b,c\in Q \), entonces:
  

  • Reflexividad: \( a \leq a \)
  • Antisimetría: \( a \leq b, b \leq a\Rightarrow{ a \leq a} \)
  • Transitividad: \( a \leq b, b \leq c \Rightarrow{ a \leq c} \)
  • Tricotomía: \( a \neq b \Rightarrow{} a\leq b\textsf{\ ó\ } b \leq a \)

  
  Se definen las relaciones \( <, >, \geq \) de la siguiente manera:
  

  • \( a < b \) significa \( a \leq b \) y \( a\neq b \).
  • \( a \geq b \) significa \( b \leq a \).
  • \( a > b \) significa \( a \geq b \) y \( a\neq b \).

  [cerrar]
  Se dice que un elemento \( m\in Q \) es positivo si \( m > 0 \), y se dice negativo si \( m < 0 \).
  Se dice que un elemento \( m\in Q \) es no negativo si \( m \geq0 \), y se dice no positivo si \( m  \leq 0 \).
  
  
• Axioma 3. La suma y el producto son monótonas respecto el orden \( \leq \)
  Esto quiere decir que, para cualesquiera \( a, b, c\in Q \):
  
  • Si \( a < b \) entonces \( a+c<b+c \).
  • Si \( a < b \) y \( c>0 \), entonces \( a\cdot c<b\cdot c \).
  
  
• Teorema 0. Existe un subconjunto \( N \) de \( Q \), que contiene al elemento 1 (el neutro de la multiplicación), de tal suerte que \( (N,s,1,+,\cdot, \leq) \) es isomorfo al sistema de los números naturales, donde \( s:Q\to Q \) es la función definida por \( s(q)=q+1 \). Más aún, ese conjunto es único.
  
  Demostración (abrir desplegable para detalles)

  
  Antes que nada, necesitamos el hecho de que \( 1 > 0 \).
  Para ello, observemos por un rato que \( (Q,+,\cdot,0,1, \leq) \) satisface también los axiomas de anillo conmutativo con identidad 1 para el producto, que además tienen un orden total \(  \leq \) y operaciones compatibles con ese orden, como explicamos en la parte de números enteros. Semejante maquinaria la invocamos sólo para poder decir que \( 1>0 \), tal como se probó en el post anterior.
  
  Definamos que un subconjunto \( P \) de \( Q \) es inductivo si satisface las siguientes propiedades:
  
  

  • \( P\neq\emptyset \)
  • \( 1\in P \)
  • \( q\in P\Rightarrow{s(q)\in P} \)

  
  Obviamente, existe un conjunto inductivo, a saber, el conjunto \( Q^+ \) que consta de los elementos positivos de \( Q \).
  En efecto, como hemos visto, es \( 1>0 \), luego \( 1 \in Q^+ \).
  Además, por monotonía, si \( q\in Q^+ \), entonces \( s(q)=q+1>q+0>0+0=0 \). Por lo tanto \( s(q)\in Q^+ \).
  Finalmente, por mera definición de elemento positivo, el \( 0 \) no pertenece a \( Q^+ \).
  
  Consideremos, pues, la familia \( \mathcal F \) de subconjuntos inductivos \( P \) de \( Q \), y definamos:
  
  

  \( N=\bigcap_{P\in \mathcal F} P \)

  
  Se puede demostrar muy fácilmente que la intersección \( N \) así definida satisface las tres propiedades de conjunto inductivo que se enumeran arriba.
  Observemos que \( 1\in N \).
  Ademas, si \( q\in N \), entonces \( s(q)\in N \), por ser \( N \) inductivo.
  También tenemos que, si \( s(q)=s(r) \), entonces \( q+1=r+1 \). Sumando \( (-1) \) a la derecha en ambos miembros, y aplicando ley asociativa y el hecho de que 1 y \( -1 \) son opuestos, resulta que \( q=r \).
  Por lo tanto la función \( s \) es inyectiva.
  Más aún, si existiera \( q\in N \) tal que \( s(q)=1 \), entonces \( q+1=1 \), con lo cual \( q=0 \).
  Pero como sabemos que existe algún elemento de la intersección que no contiene al \( 0 \), por ejemplo el conjunto \( P=Q^+ \), resulta que \( 0 \) no puede pertenecer a la intersección \( N \).
  Así que \( s \) es una aplicación inyectiva de \( N \) en \( N\setminus\{1\} \).
  
  Por último, sea \( A \) un subconjunto de \( N \), no vacío, tal que \( 1\in A \), y tal que \( q\in A \Rightarrow{s(q)\in A} \).
  Estamos diciendo que \( A \) es un subconjunto inductivo de \( N \).
  Pero entonces \( A\in \mathcal F \), y esto quiere decir que \( N \) es un subconjunto de \( A \).
  Por lo tanto \( A = N \).
  
  O sea que \( (N,s,1) \) satisface los Axiomas de Peano de los números naturales.
  
  Si algún otro subconjunto \( M \) de \( Q \) satisfaciera esos axiomas, en particular sería un subconjunto inductivo de \( Q \), con lo cual \( N\subset M \).
  Como \( N \) es subconjunto de \( M \), y cumple que \( 1\in N \) y \( q\in N \Rightarrow{s(q)\in N} \), aplicando el principio de inducción en \( M \) se obtiene finalmente que \( N=M \).
  
  Esto prueba la unicidad de \( N \).
  
  Será bueno también que probemos que las operaciones de suma y producto de \( Q \) cuando se aplican a elementos de \( N \), se comportan como se espera.
  Para ello, observemos primeramente que para todo \( q,r\in Q \):
  Axiomas de la suma: \( q+1=s(q) \), y además \( q+s(r)=q+(s+1)=(q+r)+1=s(q+r) \),
  Axiomas del producto: \( q\cdot 1=q \), y además \( q\cdot s(r)=q\cdot (r+1)=q\cdot r+q\cdot 1=q\cdot\qquad\qquadr+q \).
  A partir de estas relaciones se puede demostrar por inducción (queda como ejercicio) que si \( q,r\in N \), entonces \( q+r\in N \) y \( q\cdot r\in N \).
  En particular, estas propiedades siguen valiendo para elementos cualesquiera \( q,r \) de \( N \), lo cual coincide con la definición axiomática (en forma de recurrencias) de las operaciones de suma y producto en \( N \).
  
  En cuanto a la relación de orden, para ver que coincide con el orden "estándar" de los números naturales, basta que verifiquemos que,
  para \( q,r\in N \) se cumple \( r < q \) si y sólo si existe \( m\in N \) tal que \( r+m=q \).
  Si \( r+m=q \) para algún \( m\in N \), entonces usamos que \( m \geq 1 \) y escribimos:
  \( r+(\tilde m +1)=q \), donde \( \tilde m \) es el número racional que satisface \( \tilde m+1=m \).
  Sumando \( -\tilde m \) a ambos miembros nos queda que:
  \( r+1=q+(-\tilde m) \).
  Como \( \tilde m \geq 0 \), tenemos ahora que, si sumamos \( \tilde m \) a la derecha, por monotonía:
  \( r<r+1 =r+1+0\leq q+(-\tilde m)+\tilde m=q. \)
  Tras esta magia... resulta \( r<q \), jeje. 
  
  Antes de seguir, digamos que: todo elemento \( k \) de \( N \) satisface que \( 1 \leq k \).
  Eso es fácil de comprobar aplicando la propiedad de inducción de \( N \) y la monotonía de la suma en \( Q \) respecto \( < \).
  
  Ahora supongamos que \( r<q \).
  Consideremos el número \( m = q+(-r) \).
  En primer lugar, \( m > 0 \), porque si no, aplicando monotonía obtendríamos que \( q=q+(-r)+r=m+r \leq 0+r=r \), absurdo.
  Además, como \( 0<1 \leq r \), resulta que \( -r>0 \) (porque si no, \( 1 \leq r+0 \leq r+(-r)=0 \), absurdo).
  Así que \( m < q \).
  Nos preguntamos si \( m \) es un elemento de \( N \).
  Supongamos que no lo es.
  Sin embargo existe un \( k\in N \) tal que \( m+k\in N \), por ejemplo, tomando \( k = r \).
  Existe un mínimo \( k\in N \) tal que \( m+k\in N \).
  Si \( k \geq 2 \), entonces \( k+(-1) \in N \), como es fácil de comprobar, y además \( m+k+(-1) \) no está en \( N \).
  Pero resulta que la aplicación \( k\to k+(-1) \) es la inversa de la función sucesor \( s \), como es fácil verificar.
  Y sabemos que el único elemento de \( N \) sin preimagen por \( s \) es 1, o sea que \( m+k=1 \).
  Así que \( k=1+(-m)<1+0=1 \).
  Pero esto es absurdo, pues todo \( k \in N \) cumple que \( k \geq1 \).
  Así que no es cierto que \( k \geq2 \), como habíamos supuesto. Eso sólo nos deja \( k =1 \).
  Pero en este caso, estamos afirmando que \( m+1 \in N \). Por lo tanto, o bien \( m\in N \), o bien \( m=0 \).
  Pero como teníamos que \( 0<m \), esto sólo nos deja que \( m\in N \).
  
  Luego, existe \( m\in N \) tal que \( r+m=q \).
  
  Esto prueba que la relación de orden \( < \) de \( Q \), al restringirla a \( N \), coincide con la noción de orden que uno definiría en \( N \) según la teoría de números naturales.
  O sea, ambas son la misma relación de orden cuando se las restringe a \( N \).
  
  Luego, las leyes de monotonía de \( Q \), subordinadas a \( N \), hacen el resto del trabajo, y así todas las propiedades del sistema \( (N,s,1,+,\cdot,<) \) esperadas para los números naturales se cumplirán.
  
  

  [cerrar]
  
  Observamos que la prueba anterior puede usarse en cualquier anillo ordenado.
  Basta constatar que sólo se han invocado propiedades que provienen de los axiomas correspondientes a anillo ordenado.
  En particular, podríamos haber usado esta misma prueba para construir un conjunto \( N \) de números naturales dentro del sistema de números enteros en el post anterior.
  Así que tenemos aquí otro método distinto al que se dio allí (que aprovechaba propiedades de \( Z \)), aunque el método del Teorema 0 es de aplicación más general.
  
  
• Definición. Llamamos al único conjunto \( N \) obtenido en el Teorema 0, subconjunto de números naturales contenido en \( Q \).
  Consideremos el conjunto \( Z = \{m\in Q:-m\in N\}\cup\{0\}\cup\{m\in Q:m\in N\} \).
  Denominamos a \( Z \) el subconjunto de enteros de \( Q \).
  Obsérvese que en cualquier cuerpo con un orden total compatible con las operaciones aritméticas se puede obtener un subconjunto de números naturales y también un subconjunto de números enteros.
  
  
• Axioma 4. Para todo \( q\in Q \), existe \( m\in N \) tal que \( q\cdot m \in Z \).
  O sea, para todo número racional \( q \) existe algún entero positivo \( m \) tal que al multiplicar por ese \( m \), da como resultado un número entero.
  
  Este es el axioma de racionalidad, o sea, la principal propiedad que caracteriza a los números racionales.
  Afirma que todo elemento \( q\in Q \) puede escribirse en la forma \( q = a\cdot m^{-1} \), siendo \( a\in Z \) y \( m\in N. \)
  

Los primeros 3 axiomas no son suficientes para obtener de forma unívoca al sistema de números racionales.
O sea, hay varios cuerpos ordenados que cumplen esos axiomas, y que no son isomorfos entre sí.
Ahora, con el último axioma agregado, todos los sistemas \( Q \) que satisfagan esas propiedades son isomorfos, y por lo tanto hay esencialmente un único sistema de números racionales.

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Subsección 3.4. Propiedades de los Números Racionales.

Las siguientes propiedades elementales se prueban del mismo modo que en la sección de números enteros, ya que sólo se usa la estructura de anillo conmutativo y ordenado de \( (Q,+,.0,1, \leq) \).
Por lo tanto no vamos a repetir las demostraciones aquí.

Definición. Dados \( a,b\in Q \), se define la resta de \( a \) y \( b \) como \( a - b=a+(-b) \).

Lema 1. El producto de cualquier número racional por \( 0 \) es igual a \( 0 \).
Lema 2. Para todo número racional \( a \), su inverso aditivo satisface: \( -a=(-1)\cdot a \).
Lema 3. 1 > 0.
Lema 4. Un número racional \( a \) es positivo si, y sólo si, \( -a \) es negativo.
Lema 5. Si \( a,b\in Q \) son tales que \( a \leq b \), entonces \( -b \leq -a \).
Lema 6. Si \( a\in Q \), \( a \geq 1 \), entonces \( 0<a^{-1} \leq 1. \)

Demostración del Lema 6 (abriendo desplegable)

Ciertamente, por ser  \( \leq \) un orden total, o bien \( a^{-1}  \leq 1 \), o bien \( a^{-1} > 1 \).
Si fuera cierto que \( a^{-1}> 1 \), entonces \( 1 \leq a = a\cdot1 < a\cdot a^{-1} = 1 \), que es absurdo.

[cerrar]

Teorema 1. El sistema \( (Z,+,\cdot, 0,1,\leq) \) donde \( Z \) es el conjunto definido antes del Axioma 4, satisface los axiomas de los números enteros.

Demostración (abrir desplegable para detalles)

Ya sabemos que \( N \) es un subconjunto de \( Z \), y que \( N \) satisface los axiomas y propiedades de los números naturales.
Ahora, jugando con los signos, viendo caso por caso, es un ejercicio de rutina comprobar que \( (Z,+,\cdot) \) es cerrado para la suma y el producto, o sea, si \( a,b\in Z \) entonces también \( a+b,a\cdot b\in Z \).
Además, como \( 0,1\in Z \), y como las propiedades algebraicas de la suma y el producto de \( Q \) se heredan a \( Z \) directamente, resulta que \( (Z,+,\cdot,0,1) \) es un anillo conmutativo con identidad \( 1 \) para el producto.
La relación de orden \( < \) de \( Q \) también hereda a \( Z \) su propiedad de ser un orden total.
El sentido de ser positivo ó negativo en \( Z \) respecto dicha relación de orden permanece con el mismo significado que tenía en \( Q \).
Las propiedades de monotonía de la suma y el producto respecto  \( \leq \) en \( Z \) se mantienen sin cambios, tal como eran en \( Q \), también porque la herencia de estas propiedades es directa.

Falta probar la buena ordenación de subconjuntos acotados inferiormente.
Sea \( A \) un subconjunto no vacío de \( Z \), acotado inferiormente, o sea, tal que existe un \( a\in Z \) con \( a \leq b \), para todo \( b\in A \).
Definimos la aplicación biyectiva de \( Z \) en \( Z \) dada por: \( \gamma(b)=b+(-a)+1 \).
Resulta que \( \gamma(b) \geq1 \), pues \( b+(-a)+1  \geq a+(-a)+1=0+1=1 \).
Esto quiere decir que el conjunto \( C = \{\gamma(b):b\in A\} \) es un subconjunto no vacío de \( N \).
Pero \( N \) satisface el principio de buena ordenación.
Por lo tanto \( C \) también satisface el principio de buena ordenación.
Sea pues \( B \) un subconjunto no vacío de \( A \).
El conjunto \( \gamma(B)=\{\gamma(b):b\in B\} \) es un subconjunto no vacío de \( C \), así que \( \gamma(B) \) tiene un elemento mínimo, digamos \( \beta \).
Resulta que \( b_0:=\gamma^{-1}(\beta)=\beta+a+(-1)  \leq \gamma^{-1}(x) \), todo \( x \in\gamma(B) \).
Así que \( b_0 \leq b \), para todo \( b \in B \).
Pero también \( b_0 \in B \), como es obvio, luego \( B \) tiene un elemento mínimo.
Como \( B \) es genérico, esto prueba que \( A \) satisface el principio de buena ordenación respecto la relación  \( \leq \) heredada de \( Q \).

Todos los axiomas de los números enteros han sido probados para \( Z \).

[cerrar]

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Subsección 3.5. Propiedades de "densidad" de los Números Racionales. Propiedad Arquimediana.

Observemos que podemos ya hurgar en la propiedad de densidad de los números racionales.

• Si \( q,r\in Q \), y \( q<r \), entonces existe \( t\in Q \) tal que \( q<t<r \).
  
  La demostración es muy fácil. Basta definir \( t = 2^{-1}(q+r) \). Es claro que
  \( q=2^{-1}\cdot2\cdot q=2^{-1}\cdot(q+q) < 2^{-1}\cdot(q+r) < 2^{-1}\cdot(r+r)=2^{-1}\cdot2\cdot r=r. \)
  

Teorema 2. Todo número racional se encuentra entre algún par de números enteros.
En símbolos, esto se dice así: para todo \( q\in Q \), existen \( \mu,\nu\in Z \) (el conjunto de enteros de \( Q \)), tales que \( \mu<q<\nu \).

Esto hace que no haya números racionales demasiado "grandes".

Demostración (abrir desplegable)

Separemos el problema en varios casos.
El más sencillo es \( q = 0 \).
Según el Lema 3, tenemos que \( 1 > 0 \). Según el Lema 5, tenemos que \( -1 < 0 \).
Por lo tanto, con \( m = -1, n = 1 \) se cumple la tesis para \( q = 0 \).

Supongamos ahora que \( q > 0 \).
Por Axioma 4, tenemos que existen \( a\in Z, m\in N \) tales que \( q = a\cdot m^{-1} \).
Como \( q>0 \) y \( m>0 \), tenemos también que \( a > 0. \)
Como \( m \geq 1 \), por Lema 6 tenemos ahora que \( 0 < m^{-1}  \leq 1 \).
Por lo tanto \( q  = a\cdot m^{-1} \leq a \cdot 1 = a < a+1 \).
Tomando ahora \( \mu = 0, \nu = a+1 \), tenemos que \( \mu,\nu\in Z \) y \( \mu<q<\nu \), como se deseaba.

Sea finalmente \( q < 0 \). Por Lema 5, resulta \( -q>0 \).
Lo demostrado en el párrafo anterior implica que existe \( n\in Z \) tal que \( 0<-q<n \).
De nuevo, por Lema 5, tenemos ahora que \( \mu < q < \nu \), siendo \( \mu = -n, \nu = 0 \).

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Corolario. Propiedad Arquimediana. Dados \( q,r\in Q \), \( q>0,r>0 \). Entonces existe \( n\in N \) tal que \( q < r\cdot n \).

Demostración (abriendo desplegable)

Consideremos el número racional \( x = r\cdot q^{-1} \).
Ciertamente \( x > 0 \).
Por el Teorema 2, resulta que existe \( n\in Z \) tal que \( x < n \).
Además, esta desigualdad implica que \( n \) es positivo, con lo cual \( n \in N \).
Multiplicando por el número positivo \( r \), y usando Axioma 3, resulta finalmente que \( q = x\cdot r < n \cdot r \).

[cerrar]

La propiedad arquimediana es cierta también en sistemas de números naturales y enteros.
No la enunciamos allí porque quizá no es lo bastante interesante como en este lugar, debido a que nos estamos acercando al sistema de los números reales, y las propiedades geométricas y topológicas comienzan a cobrar mayor importancia.

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Subsección 3.6. Unicidad algebraica del Sistema de Números Racionales.

Otra propiedad interesante de los sistemas de números racionales, es que todos son esencialmente "el mismo".
Vale decir, dados dos sistemas que satisfacen los Axiomas de los números racionales, resultan isomorfos entre sí, tanto en sentido algebraico como ordinal. Lo enunciamos así:

Teorema 3. Sean \( (Q,+,.,0,1, \leq) \) y \( (\tilde Q,\oplus, \odot,\tilde 0,\tilde 1,  \preccurlyeq) \) dos sistemas que satisfacen los axiomas de los números racionales.
Entonces ambos sistemas son isomorfos entre sí.

Demostración (abrir desplegable)

Dejamos los detalles como ejercicio para el lector.

Podemos sin embargo adelantar que el isomorfismo puede definirse de la siguiente manera.
Por Teorema 1, resulta que existe un subconjunto \( Z \) de \( Q \) tal que \( (Z,+,\cdot,0,1, \leq) \) satisface los Axiomas de sistema de números enteros, y lo mismo podemos decir de un subconjunto \( \tilde Z \) de \( \tilde Q \), dando lugar a un sistema de números enteros \( (\tilde Z,\oplus, \odot,\tilde 0,\tilde 1,  \preccurlyeq) \).
Pero entonces estos dos sistemas son isomorfos entre sí, tanto en forma algebaica como ordinal, como sabemos ya de la teoría de números enteros.
Denotamos con \( \iota :Z\to \tilde Z \) a un tal isomorfismo de números enteros.
Definimos una nueva función \( \nu:Q\to \tilde Q \) mediante:
\( \nu(a) = \iota (p)   \odot\iota (q)^{-1}, \) si \( a=p\cdot q^{-1}, q\neq0, p,q\in Z. \)
El recíproco del lado derecho debe entenderse en el sentido del producto de \( \tilde Q \).

Debe probarse primeramente que la función \( \nu \) está bien definida.
O sea, si consideramos dos maneras distintas de escribir \( a = p\cdot q^{-1} = u\cdot v^{-1} \), entonces debemos estar seguros que \( \iota (p)  \odot\iota (q)^{-1}=\iota (u) \odot\iota (v)^{-1} \).
Para ello, multiplique el lado izquierdo por \( \iota (q)  \odot\iota (v) \), y usando que \( p\cdot v=u\cdot q \) y que \( \iota \) es isomorfismo entre \( Z \) y \( \tilde Z \), obtenga que el resultado es igual a \( \iota (u)  \odot\iota (q) \).

Ahora, con el isomorfismo \( \nu \) deberá el lector demostrar que los sistemas dados son isomorfos en todo sentido (algebraico, ordinal, y cualquier otra cosa que a uno se le pueda ocurrir  ).

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En particular, si dos sistemas \( (Q,+,\cdot,0,1, \leq) \) y \( (\tilde Q,\oplus, \odot,\tilde 0,\tilde 1,  \preccurlyeq) \) satisfacen los Axiomas de los números racionales, entonces los conjuntos \( Q \) y \( \tilde Q \) tienen el mismo cardinal, pues el isomorfismo es una biyección entre ambos sistemas.

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Subsección 3.7. Cardinalidad de los Números Racionales.

En cuanto a la cardinalidad de los números racionales podemos ser más precisos:

Teorema 4. Si \( (Q,+,\cdot,0,1, \leq) \) es un sistema de números racionales, entonces \( Q \) es un conjunto biyectivo con su subconjunto \( N \) de números naturales (definido antes del Axioma 4).

Demostración (abrir desplegable para detalles)

Por Axioma 4, cada número racional \( q \) se puede escribir como \( q =a\cdot b^{-1}, a\in Z, b\in N \).
Aquí \( Z \) denota el subconjunto de \( Q \) de números enteros, y \( N \) es el subconjunto de \( Q \) de números naturales, definidos anteriormente (o sea, vamos a trabajar con los sistemas de enteros y naturales que existen "dentro" del mismo \( Q \)).

Consideremos el conjunto \( M = Z\times N \).
La función \( \mu:M\to Q \) dada por \( \mu(a,b)=a\cdot b^{-1} \) es suryectiva, porque todo elemento de \( Q \) tiene preimagen por \( \mu \).
Esto quiere decir que el cardinal de \( Q \) es menor o igual que el cardinal de \( M \) (teoría de conjuntos).

Definamos ahora la función \( z:M\to Z \), dada por
\( z(a,b) = (2a+1)\cdot 2^{b}. \)

Se deja como ejercicio demostrar que la función \( z \) es una biyección entre \( M \) y \( Z \).
Por lo tanto \( M \) y \( Z \) tienen el mismo cardinal.
A su vez, como \( Z \) tiene el mismo cardinal que \( N \), concluimos que \( M \) y \( N \) tienen el mismo cardinal.

Así que existe una función suryectiva de \( N \) en \( Q \) (hay que armarla con sucesivas composiciones...),
lo cual prueba que el cardinal de \( Q \) es menor o igual que el cardinal de \( N \).
A su vez, \( N \) es un subconjunto de \( Q \), por lo tanto el cardinal de \( N \) es menor o igual que el cardinal de \( Q \).

Aplicando el Teorema de Schroeder-Bernstein de la teoría de conjuntos se puede concluir que \( N \) y \( Q \) tienen el mismo cardinal.

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Subsección 3.8. Solución al problema de la división en el Sistema de Números Racionales.

Recordemos que los números racionales se inventaron para poder dividir.
¿Resuelven realmente los números racionales el problema de la división?
Veamos los detalles en el siguiente desplegable:

Dividiendo enteros y racionales

Hemos visto que el sistema de los números racionales amplía, con los isomorfismos adecuados, al sistema de los números enteros.
Ahora planteamos de nuevo la ecuación \( a \cdot x = b \), siendo \( a, b \) números enteros.
Como estos se identifican con el subconjunto de enteros del sistema de los racionales, nos sumergimos en los racionales, y preguntamos si existe un \( x\in Q \) que resuelve la ecuación.

Si \( a \neq 0 \) la respuesta es siempre afirmativa, porque basta multiplicar por izquierda a ambos miembros por el número racional \( a^{-1} \).

Cuando \( a = 0 \) y \( b = 0 \), todo número entero y/o racional \( x \) satisface la ecuación \( a\cdot x = b \), pues \( 0\cdot x = 0 \).
Así que en este caso hay solución a la ecuación, pero tiene un comportamiento indeterminado. Se trata de un caso trivial, sin significado útil en las posibles aplicaciones.

Cuando \( a=0 \) y \( b\neq 0 \), no hay solución entera ni racional \( x \) a la ecuación \( 0\cdot x = b \).

O sea que el problema de la división entre enteros se resuelve "casi" por completo, salvo por el caso "singular" en que el "divisor" es igual a 0.
Este problema en realidad es más profundo todavía, ya que en el caso general de un sistema cualquiera que satisfaga los axiomas de cuerpo, resulta que no está bien definida la división por 0.

Por lo tanto, nos vamos a conformar con poder dividir por cualquier cantidad que sea distinta de 0.

La consecuencia de las observaciones previas es que podemos "dividir" cualesquiera dos números enteros (con tal que el segundo no sea 0),  y obtenemos un resultado en \( Q \).

Queda aún una cuestión más intrincada por resolver.
¿Qué sucede si ahora planteo la ecuación \( \alpha \cdot x = \beta \), en donde \( \alpha, \beta \) son racionales, no necesariamente enteros?
¿Existe solución en este caso más general?
Si la respuesta a esta pregunta fuese negativa, tendríamos necesidad quizá de nuevas ampliaciones del sistema numérico para intentar resolver ese tipo de ecuaciones.

Sin embargo este problema no ocurre, por suerte. Veamos por qué se soluciona todo tan fácilmente.
Antes que nada, supongamos que \( \alpha\neq 0 \).
Resulta que en \( Q\setminus\{0\} \) existen los inversos multiplicativos, por el Axioma 1.
Así que existe el inverso multiplicativo de \( \alpha \), que se denota \( \alpha^{-1} \).
Definimos \( x = \alpha^{-1}\cdot\beta \). Es fácil verificar que este número racional satisface la ecuación requerida, tras usar una vez la propiedad asociativa del producto, luego la cancelación de los elementos inversos, y por último el hecho de que \( 1 \) es neutro multiplicativo:
\( \alpha\cdot x=\alpha\cdot(\alpha^{-1}\cdot\beta)=(\alpha\cdot\alpha^{-1})\cdot\beta=1\cdot\beta=\beta. \)

También podríamos haber definido \( x = \beta\cdot\alpha^{-1} \), pero esto nos hubiera obligado a usar también la propiedad conmutativa del producto en la pequeña comprobación anterior.
Nos hemos ahorrado un pasito... y una propiedad.

Se puede ahora definir la división de \( \beta \) y \( \alpha \) como la solución a la ecuación \( \alpha\cdot x=\beta \).
Esto es correcto porque la solución existe, y es fácil verificar que es única, y coincide con
\( \beta/\alpha=\alpha^{-1}\cdot\beta. \)
o bien:
\( \beta/\alpha=\beta\cdot\alpha^{-1}. \)

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Por último mostremos cómo puede construirse un sistema que satisfaga los Axiomas de los números racionales.
El método estándar consiste definir una relación de equivalencia de pares ordenados de números enteros, y definir el conjunto de racionales como las clases de equivalencia pertinentes.
Veamos los detalles.

Subsección 3.9. Construcción (estándar) de un Sistema de Números Racionales. Preliminares.

Sea \( (Z,+,\cdot,0,1, \leq) \) un sistema de números enteros.
Vamos a trabajar con pares ordenados \( (m,n)\in Z\times N \), donde \( N \) denota al subsistema de números naturales que sabemos que existe dentro de \( Z \).
O sea que \( m\in Z, n\in N \).

Ahora vamos a definir una relación \( \sim{} \) entre elementos de \( Z\times N \).
Decimos que \( (m,n)\sim (m',n') \) si \( m\cdot n'=m'\cdot n \).

Intuitivamente, el par \( (m,n) \) representaría formalmente a la "fracción" \( \dfrac mn \).
Fíjese cómo hemos evitado líos con los ceros o con los signos en el denominador, exigiendo que \( n \) sea siempre un entero positivo.

Teorema 5. La relación \( \sim \) es de equivalencia.

Demostración (abrir desplegable)

Basta comprobar que \( \sim \) es reflexiva, simétrica y transitiva.

Reflexiva: Es trivial comprobar que \( (m,n)\sim(m,n) \).

Simétrica: Es directo comprobar que si \( (m,n)\sim(m',n') \) entonces \( (m',n')\sim (m,n) \).

Transitiva: Si \( (m,n)\sim(m',n') \) y \( (m',n')\sim (m'',n'') \), entonces \( m\cdot n'=m'\cdot n \) y \( m'\cdot n''=m''\cdot n' \). Multiplicando ambas igualdades miembro a miembro y reagrupando términos, queda:
\( (m\cdot n'')\cdot (m'\cdot n')=(m''\cdot n)\cdot (m'\cdot n') \).
En ambos miembros figura el factor \( (m'\cdot n') \) a la derecha.

Debemos separar el análisis en casos, según el signo de \( m' \).
Si \( m'\neq0 \), entonces se puede aplicar la propiedad cancelativa del producto, y resulta que \( m\cdot n''=m''\cdot n \).

Supongamos ahora que \( m'=0 \).
Como \( m\cdot n'=m'\cdot n=0 \). y \( n' \neq0 \), necesariamente ocurre que \( m=0 \).
De modo similar, se ve que \( m''=0 \).
Pero esto implica inmediatamente que \( m\cdot n''=0=m''\cdot n \).

Por lo tanto, esto significa que: \( (m,n)\sim(m'',n'') \).

[cerrar]

Definimos en \( Z\times N \) ciertas operaciones de suma y producto, diciendo que, para cualesquiera \( m,m''\in Z,n,n'\in N \):

\( (m,n)\oplus (m',n')=(m\cdot n'+n\cdot m',n\cdot n') \)
\( (m,n)\otimes (m',n')=(m\cdot m', n\cdot n') \)

Dejamos como ejercicio comprobar que estas operaciones cumplen las propiedades asociativa, conmutativa, y que además el producto distribuye a la suma.

Ahora necesitamos hacer una comprobación muy importante: las operaciones aritméticas son compatibles con la relación de equivalencia.
Esto lo desarrollamos en el siguiente:

Teorema 6. Si \( (m,n)\sim(\mu,\nu) \), y si \( (a,b)\sim(\alpha,\beta) \), entonces \( (m,n)\oplus(a,b)\sim(\mu,\nu)\oplus(\alpha.\beta) \) y \( (m,n)\otimes(a,b)\sim(\mu,\nu)\otimes(\alpha.\beta) \).

Demostración (abrir desplegable)

En primer lugar, desplegamos las hipótesis. Tenemos que:

\( m\cdot\nu=\mu\cdot n, a\cdot \beta=\alpha\cdot b \).

También escribimos la forma concreta de las operaciones de suma y producto de pares ordenados:

\( (m,n)\oplus(a,b)=(m\cdot b+n\cdot a,n\cdot b) \),
\( (\mu,\nu)\oplus(\alpha,\beta)=(\mu\cdot \beta +\nu \cdot \alpha,\nu\cdot \beta) \).
\( (m,n)\otimes(a,b)=(m\cdot a, n\cdot b) \),
\( (\mu,\nu)\otimes(\alpha,\beta)=(\mu\cdot \alpha, \nu\cdot \beta) \).

Ahora calculamos:

\( \begin{align*}
(m\cdot b+n\cdot a)\cdot(\nu\cdot \beta) &=m\cdot b\cdot \nu\cdot \beta+n\cdot a \cdot \nu \cdot \beta\\
&=\mu \cdot b \cdot n \cdot \beta + n \cdot \alpha \cdot \nu \cdot b\\
&=(\mu\cdot \beta+\nu\cdot \alpha)\cdot(n \cdot b)
\end{align*}
 \).

Esto prueba que \( (m,n)\oplus(a,b)\sim (\mu,\nu)\oplus(\alpha,\beta) \).

Para estudiar el producto, usamos las relaciones previas, y escribimos:
\( \begin{align*}
(m \cdot a)\cdot (\nu \cdot \beta) &= (m \cdot \nu) \cdot (a \cdot \beta)\\
&=(\mu \cdot n) \cdot (\alpha \cdot b)\\
&=(\mu \cdot \alpha)\cdot (n \cdot b)
\end{align*}
 \)

Esto prueba que: \( (m,n)\otimes(a,b)\sim(\mu,\nu)\otimes(\alpha.\beta) \).

[cerrar]

Dado un par \( (m,n)\in Z\times N \), definimos su clase de \( \sim \)-equivalencia como el conjunto:
\( [m,n]=\{(\mu,\nu)\in\mathbb{}Z\times N:(\mu,\nu)\sim (m,n)\}. \)

Al igual que ocurre siempre al definir una relación de equivalencia (y como ya mostramos en el post de números enteros), tenemos que dos clases de equivalencia \( [m,n], [a,b] \), o bien son disjuntas, o bien son iguales.

El conjunto de todos los pares \( (m,n)\in \mathbb{}Z\times N \) queda particionado en la unión de las clases de equivalencia \( [m,n] \), que son todas disjuntas.

Debido al Teorema 6, vemos que si \( (\mu,\nu) \) es un elemento de la clase \( [m,n] \), y si \( (\alpha,\beta) \) es un elemento de la clase \( [a,b] \), entonces \( (\mu,\nu)\oplus(\alpha,\beta) \) es un elemento de la clase de equivalencia determinada por \( (m,n)\oplus(a,b) \), y del mismo modo, \( (\mu,\nu)\otimes(\alpha,\beta) \) es un elemento de la clase de equivalencia determinada por \( (m,n)\otimes(a,b) \).

De esta manera, podemos definir la suma y el producto de clases de equivalencia, como la clase determinada por la suma o producto de cualquiera de sus elementos.
Al hacerlo de este modo, no hay ambigüedad en la definición, pues hemos visto que hay una y sólo una clase posible como resultado.

Así, establecemos las siguientes definiciones:

\( [m,n]+[a,b]=[(m,n)\oplus(a,b)] \)

\( [m,n]\cdot[a,b]=[(m,n)\otimes(a,b)] \)

Deseamos determinar cuáles son todas las clases de equivalencia posibles.
Los detalles los damos en el siguiente desplegable.

Determinación y descripción de todas las clases de equivalencia posibles

Dado un número entero \( n \), observemos que \( [m \cdot n,m]=[m'\cdot n,m'] \), para cualesquiera \( m,m' \) enteros positivos que se tomen.
De manera similar, si \( n\in N \), entonces \( [m,m\cdot n]=[m',m'\cdot n] \), para cualesquiera \( m,m' \) enteros positivos que se tomen.
Denotamos pues \( \bar n \) a la clase \( [m\cdot n,m] \) (cualquier \( m \) entero positivo que uno elija da siempre la misma clase).
Denotamos también \( \bar n^{-1} \) a la clase \( [m,m\cdot n] \).
Observemos finalmente que si \( m,m' \) son enteros positivos cualesquiera, entonces \( [0,m]=[0,m'] \), pues \( (0,m)\sim(0,m') \).
Denotamos \( \bar 0 \) a la clase de equivalencia \( [0,m] \), para cualquier entero positivo \( m \) que uno tome

Por último, observemos que para \( m \) entero positivo, todas las clases \( [m,m] \) son iguales, sin importar cuál sea el \( m \) elegido.
Así que denotamos como \( \bar 1 \) a la clase \( [m,m] \).

Si \( p\in Z, n\in N \), denotamos \( \overline{p/n} \) a la clase de equivalencia producto \( \bar p \cdot \bar n^{-1} \).

[cerrar]

¿Existen otras clases de equivalencia posibles? La respuesta es negativa, y se puede ver por qué abriendo el desplegable siguiente.

Detalles de por qué no hay más clases

Sea \( [m,n] \) una de las clases de equivalencia.
Consideremos las clases \( [m,1] \) y \( [1,n] \).
Claramente \( \bar m = [m,1] \) y \( \bar n^{-1}=[1/n] \).
Además \( [m,1]\cdot [1,n]= [m,n] \), como es fácil de verificar.

[cerrar]

[argentinator]

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Subsección 3.10. Construcción (estándar) de un Sistema de Números Racionales. Conclusión.

Llamamos \( Q \) al conjunto de todas las clases de equivalencia.
En cuyo caso,

\( Q = \{\overline {m/n}:m\in Z, n\in N\}. \)

(para la notación \( \overline{m/n} \) ver los detalles en el post anterior, en el spoiler: Determinación y descripción de todas las clases de equivalencia posibles).

Tenemos también en \( Q \) definidas unas operaciones de suma y producto.

Finalmente definimos una relación de orden en \( Q \), aunque lo haremos usando previamente una noción de elemento positivo.
Se dice que una clase \( [m,n] \) de \( Q \) es:

• positiva si \( m>0 \),
• negativa si \( m<0 \)
• nula si \( m=0 \).

.

Es fácil comprobar que una clase \( [m,n] \) sólo puede ser positiva, negativa o nula, y por lo antes dicho, siempre es de alguno de esos tres tipos.
Definimos ahora que \( [m,n]<[a,b] \) si existe una clase positiva \( [p,q] \) tal que \( [m,n]+[p,q]=[a,b] \).
Además, como de costumbre, se define \( [m,n] \leq[a,b] \) si \( [m,n]<[a,b] \) o \( [m,n]=[a,b] \).

Sea el subconjunto \( \overline{\mathbb{Z}}=\{\bar n:n\in Z\} \). Es decir, se trata del conjunto de clases enteras.

Dejamos como ejercicio para el lector comprobar que el sistema \( (\bar{\mathbb{Z}},+,\cdot,0,1, \leq) \) satisface todos los Axiomas y propiedades de los números Enteros.
Para ello compruebe que la función \( \phi(n)=\bar n \) es un isomorfismo algebraico y ordinal de \( \mathbb{Z} \) en \( \overline{\mathbb{Z}} \).

Finalmente, el lector debiera comprobar exhaustivamente todos los detalles del siguiente:

Teorema 7. El sistema \( (Q,+,\cdot,\bar 0,\bar 1, \leq) \) satisface todos los axiomas de los números racionales.

Para este Teorema, los axiomas deben comprobarse uno por uno.
No está permitido usar algún "isomorfismo" con el conjunto de racionales definido de forma axiomática, porque no sabemos aún si existe un sistema que cumpla esos axiomas.
Justamente, toda esta tarea en base a las relaciones de equivalencia es lo que se encarga de demostrar que efectivamente hay un conjunto con unas operaciones dadas que cumplen los axiomas de sistema de racionales.

Esto culmina nuestra construcción de un ejemplo concreto de sistema de números racionales a partir del sistema de los números enteros.