Teorema de PoincareObserve que si \( w=f_1dx_1+ \ldots +dx_n \) es una 1-forma en \( \mathbb{R}^n \), la pregunta¿existe una función \( u(x) \) tal que \( du=w \)? Se respondería diciendo la forma es "exacta". Sin embargo vimos que era necesario que \( \frac{{\partial f_i}}{{\partial x_i}}=\frac{{\partial f_j}}{{\partial x_i}} \)cuando esto pasaba deciamos que la forma era cerrada.
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Herramientas para definir "El Teorema de Stokes"Pondremos \( I^k \) para el cubo \( I^k=\underbrace{I\times{I\ldots\times{I}}}_{{k-veces}} \) con \( I=[0,1] \)
Definición: Definimos las
caras del cubo como:
\( \kappa_{i,0}:I^{k - 1}\longrightarrow{I^k} \)
\( \kappa_{i,1}:I^{k - 1}\longrightarrow{I^k} \)
\( \kappa_{i,0}(x_1,\ldots,x_{k -1})=(x_1,\ldots,x_{i-1},0,x_i,\ldots,x_{k - 1}) \)
\( \kappa_{i,1}(x_1,\ldots,x_{k -1})=(x_1,\ldots,x_{i-1},1,x_i,\ldots,x_{k - 1}) \)
- Un k-simple en una función \( \sigma:I^k\longrightarrow{\mathbb{R}^n} \)
- Una k-cadena es una suma \( c=\alpha_1 \sigma_1 + \ldots + \alpha_q \sigma_q \) donde los \( \alpha_1 ,\ldots,\alpha_q \) son némeros enteros y \( \sigma_1 ,\ldots,\sigma_q \) son k-simples.
Borde de una cadenaSi \( \sigma:I^k\longrightarrow{\mathbb{R}^n} \) es un k-simple definimos \( I^{k-1}\xrightarrow{ \kappa{ij}}\,{I^k}\xrightarrow{ \sigma}\,{\mathbb{R}^n} \) el borde(de un simple) de \( \partial\sigma \) como \( \partial\sigma = \displaystyle\sum_{\substack{j={0,1} \\ i= 1,\ldots,k}}{(-1)^{i + j} \kappa_{ij}\circ{ \sigma}} \)
Si \( c \) es una k-cadena, \( c=\alpha_1 \sigma_1 + \ldots + \alpha_q \sigma_q \) definimos \( \partial{c}=\alpha_1 \partial\sigma_1 + \ldots + \alpha_q \partial\sigma_q \)
Definición: Una cadena \( c \) es un ciclo si el borde de ella es nulo \( \partial{c}=0 \)
Integración de formasSea \( w \) una k-forma en un abierto \( U\subset{\mathbb{R}^n} \) y sea \( \sigma:I^k\longrightarrow{U} \)un k-simple en \( U \) definiremos \( \displaystyle\int_{\sigma}w \) observemos que \( \sigma^*w=f(x)dx_1\wedge\ldots\wedgedx_k \) donde f(x) es una función que esta definida en el cubo, ahora definimos que \( \displaystyle\int_{\sigma}w=\displaystyle\int_{I^k}f(x)dx \)
Relación con parametrización 
"El Teorema de Stokes"Sea \( c \) una k- cadena en \( U \) y \( w \) una \( k - 1 \) forma en \( U \) entonces \( \displaystyle\int_{c}dw=\displaystyle\int_{\sigma{c}}w \)
Observaciones sobre \( \mathbb{R}^3 \)Si \( \sigma:I^2\longrightarrow{\mathbb{R}^3} \) es una superficie parametrizada en \( U \) y \( w \) es una 1-forma en \( U \) el teorema nos dice que \( \displaystyle\int_{c}dw=\displaystyle\int_{\sigma{c}}w \) pensemos que ambos \( w \) y \( dw \) son campos \( w=Pdx + Qdy Rdz \), \( v=Pe_1+ Qe_2+ Re_3 \) y como \( dw \) se piensa como un campo así \( det\begin{bmatrix}{e_1}&{e_2}&{e_3}\\{\frac{{\partial }}{{\partial x}}}&{\frac{{\partial }}{{\partial y}}}&{\frac{{\partial }}{{\partial z}}}\\{P}&{Q}&{R}\end{bmatrix}=rot(v) \) si reescribimos \( \displaystyle\int_{\sigma}dw \)es una cuenta con el campo rotacional \( v \) y la superficie \( \sigma \)
Observaciones:Sea \( v=Pe-1 + Qe_2 + Re_3 \) un campo en un abierto \( U\subset{\mathbb{R}^n} \), por otro lado sea \( \sigma:I^2\longrightarrow{U} \) una superficie parametrizada
\( \begin{bmatrix}{\frac{{\partial \sigma_1}}{{\partial s}}}&{\frac{{\partial \sigma_1}}{{\partial s}}\\{\frac{{\partial \sigma_1}}{{\partial s}}&{\frac{{\partial \sigma_2}}{{\partial s}}\\{\frac{{\partial \sigma_3}}{{\partial s}}&{\frac{{\partial \sigma_3}}{{\partial t}}\end{bmatrix} \)
Llamaremos el flujo de v a través de \( \sigma \) al número \( \displaystyle\int_{\sigma}w \) donde \( w \) es la 2-forma en \( U \).
\( {dx}\wedge{dy}\longrightarrow{e_3} \)
\( {dz}\wedge{dx}\longrightarrow{e_2}\rightarrow{{dx}\wedge{dz}\rightarrow{-e_2}} \)
\( {dy}\wedge{dz}\longrightarrow{e_1} \)
\( w=Pdy\wedgedz - Qdx\wedgedz + Rdx\wedgedy \)
Concretamente
\( \sigma=(\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3) \)
\( \sigma*w=P(\sigma(s,t)d\sigma_2\wedged\sigma_3) - Qd\sigma_1\wedged\sigma_3 + Rd\sigma_1\wedged\sigma_2= \)\( \left(P \left(\frac{{\partial \sigma_2}}{{\partial s}}\frac{{\partial \sigma_2}}{{\partial t}} - \frac{{\partial \sigma_2}}{{\partial t}}\frac{{\partial \sigma_3}}{{\partial s}}\right) - Q \left(\frac{{\partial \sigma_1}}{{\partial s}}\frac{{\partial \sigma_2}}{{\partial t}}-\frac{{\partial \sigma_1}}{{\partial t}}\frac{{\partial \sigma_2}}{{\partial s}}\right) + R \left(\frac{{\partial \sigma_1}}{{\partial s}}\frac{{\partial \sigma_2}}{{\partial t}} -\frac{{\partial \sigma_1}}{{\partial t}}\frac{{\partial \sigma_2}}{{\partial s}}\right) \right)ds\wedge{dt} \)
Definición: Definamos \( \frac{{\partial {\sigma}}}{{\partial s}}\times{\frac{{\partial \sigma}}{{\partial t}}}=det\begin{bmatrix}{e_1}&{e_2}&{e_3}\\{\frac{{\partial \sigma_1}}{{\partial s}}}&{\frac{{\partial \sigma_2}}{{\partial s}}}&{\frac{{\partial \sigma_3}}{{\partial s}}}\\{\frac{{\partial \sigma_1}}{{\partial t}}}&{\frac{{\partial \sigma_2}}{{\partial t}}}&{\frac{{\partial 3}}{{\partial t}}}\end{bmatrix} \)
Veamos que
\( \sigma^*w=(v.(\frac{{\partial \sigma}}{{\partial s}}\times{\frac{{\partial \sigma}}{{\partial t}}}))dsdt \) flujo div a través de \( \sigma \) es \( \displaystyle\int_{I^2}\left(\frac{{\partial \sigma}}{{\partial s}}\times{\frac{{\partial \sigma}}{{\partial t}}}\right)(s,t)dsdt \)
En particular
Si \( \sigma \) es una superficie parametrizada y \( v \) es un campo, visto como una 1-forma \( v=Pdx +Qdy + Rdz \) \( \displaystyle\int_{\sigma}rot(v)=\displaystyle\int_{\partial \sigma}v \)
