6. Propiedades de la familia de funciones de Goldbach. Estos resultados se deducen de manera quasi-inmediata de la construcción de la familia de funciones \( \mathfrak{G} \).
(i) \( \mathfrak{G}(\hat{4})=\dfrac{1}{8\lambda_3^2\lambda_4^2}-\dfrac{\left |y_{\alpha/2-1}\right |\xi_{\alpha/2}^{-2}+F_5+F_7+...+F_{s_0}}{\alpha -4} \)
(ii) \( \mathfrak{G}(\widehat{\alpha/2})=\dfrac{2}{\alpha}\left( \dfrac{x_{\alpha/2-1}}{\xi_{\alpha/2-1}^2}-\dfrac{\left |{y_{\alpha/2-1}}\right |}{\xi_{\alpha/2}^2}\right) \)
(iii) \( \lim_{\;\;\bar{ \lambda} \to \bar{1}^+}{(x_{k_0},y_{k_0})=\xi_2^2(1/2,-1/2)} \) para todo \( k_0=4,5,...,\alpha/2-1 \) siendo \( \bar{1}=(1,1,...,1) \)
(iv) \( \lim_{\;\;\bar{ \lambda} \to \bar{1}^+}{ \xi_{k_0}^2 }=\xi_2^2 \) para todo \( k_0=2,3,...,\alpha/2 -1 \)
(v) \( \lim_{\;\;\bar{ \lambda} \to \bar{1}^+}{ \xi_{k_0}^2 }=\xi_{\alpha /2}^2 \) para todo \( k_0=\alpha/2 +1,\alpha/2+2,...,\alpha -5 \)
(vi) \( \lim_{\;\;\bar{ \lambda} \to \bar{1}^+}{ F_{p_0} }=\lim_{\;\;\bar{ \lambda} \to \overline{\infty}}{ F_{p_0} }=0 \) para todo \( p_0=5,7,...,s_0 \) siendo \( \overline{\infty}=(+\infty,+\infty,...,+\infty) \)
(vii) \( \displaystyle\lim_{\bar{ \lambda} \to \bar{1}}{\mathfrak{G}(\hat{4}) }=\dfrac{1}{8}-\dfrac{\mu}{\alpha-4},\quad\displaystyle\lim_{\bar{ \lambda} \to \bar{1}}{\mathfrak{G}(\widehat{\alpha/2 }) }=\dfrac{1-\mu}{\alpha }\quad (\mu = \xi_2^2/\xi_{\alpha/2}^2) \)
(viii) \( 1< \mu < (\alpha - 4)/4 \Rightarrow \exists \hat{k} \in (\hat{4},\widehat{\alpha /2 }): \mathfrak {G}(\hat{k})=0 \)
7. Estrategia heurística de trabajo. Consideraré una lata llena de agua. Si al echar agua por el agujero superior, por este no sale agua, la lata ha de tener al menos otro agujero.
Saludos.
