Acá tengo otro ejercicio del Spivak, voy a intentar resolverlo.
"Sea \( e_1,\ldots,e_n \) la base estándar para \( \mathbb{R}^n \) y sea \( \varphi _1,\ldots,\varphi _n \) la base del dual.
(a) Muestre que \( \varphi _{i_1}\wedge \ldots\wedge \varphi _{i_k}(e_{i_1},\ldots,e_{i_k})=1 \). ¿Cómo sería el lado derecho de esta igualdad si el factor \( (k+l)!/l! \) no apareciera en la definición de producto exterior?
(b) Muestre que \( \varphi _{i_1}\wedge \ldots\wedge \varphi _{i_k}(V_1,\ldots,V_k) \) es el determinante del menor \( k\times{k} \) de \( (V_1,\ldots,V_k) \) obtenido de seleccionar las columnas \( i_1,\ldots,i_k \) "
Entonces, recordemos que
\( \varphi _j(e_i)=\begin{Bmatrix} 1 & \mbox{ si } & i=j\\0 & \mbox{si}& i\neq{j}\end{matrix} \)
\( \varphi _{i_1}\wedge \ldots\wedge \varphi _{i_k}(e_{i_1},\ldots,e_{i_k})=\displaystyle\frac{(k+l)!}{k!l!}Alt(\varphi _{i_1}\otimes{\ldots\otimes{\varphi _{i_k}}})=\displaystyle\frac{(k+l)!}{k!l!}Alt(\varphi _{i_1}(e_{i_1})\ldots \varphi _{i_k}(e_{i_k})) \) Lo que está dentro del Alt es 1 por la definición de base dual y entonces quedaría:
\( \displaystyle\frac{(k+l)!}{k!l!k!} \) ?? Porque cada una de las bases era una 1-forma porque como tomamos la base estándar entonces la base del dual se escribe \( dx_1,\ldots,dx_n \). Pero no estoy segura de cómo continuar acá, ¿Alguna idea?
Saludos
