[liddokun]

Hola tengo este problema sobre esto y no se me ocurre cómo resolverlo y son estos

1) Sea \( F \) una función de distribución

a) Demuestra que para toda \( \epsilon>0 \) existe una partición finita de la recta real \( -\infty=t_0<t_1<...<t_k=\infty \) tal que para todo \( 0\leq{j\leq{k-1}} \)

\( F(t_j_+_1^-)-F(t_j)\leq{\epsilon} \) (donde \( F(t_j_+_1^-)=\displaystyle\lim_{x \to{}t_j_+_1^-}{F(x)} \))

b) Si F es continua demuestra que F es uniformemente continua.

Esos son los dos problemas que tengo y no sé cómo resolverlos así que alguna ayuda o sugerencia de cómo resolverlo se los agradeceré.


Te apartas de las reglas al omitir sistemáticamente los acentos.
Por esta vez te lo hemos remediado desde la administración.
Por favor, lee las reglas.

[Luis Fuentes]

Hola

 ¿Qué definición de función de distribución estás manejando?.

Saludos.

[liddokun]

Hola

 ¿Qué definición de función de distribución estás manejando?.

Saludos.

Sea \( F:R\longrightarrow{[0,1]} \) se dice que es una funcion de distribucion si cumple que:

1)\( F \) es continua por la derecha
2)\( F \) es Monotona no decrciente
3)\( F \) tiene limites en \( \pm{\infty} \)

Eso es todo y estare checando por si alguna dudad

Saludos!!!

[Luis Fuentes]

Hola

 a) Dado \( \epsilon>0 \) toma un \( n \) tal que \( \dfrac{1}{n}<\epsilion \).

 Considera la partición \( \{x_0,\dlots,x_n\} \) del intervalo \( [0,1] \) en \( n \) partes iguales. Toma \( t_i=f^{-1}(x_i) \) y prueba que  la partición cumple lo deseado.

 b) Utiliza el apartado anterior. Ten en cuenta que dada una partición como la hallada en \( (a) \) y para un \( \delta \) suficientemente pequeño, estamos seguros de que si \( |x-y|<\delta \) entonces \( x,y \) están en la unión de dos intervalos consecutivos de la partición.

Saludos.

[liddokun]

Hola

 a) Dado \( \epsilon>0 \) toma un \( n \) tal que \( \dfrac{1}{n}<\epsilion \).

 Considera la partición \( \{x_0,\dlots,x_n\} \) del intervalo \( [0,1] \) en \( n \) partes iguales. Toma \( t_i=f^{-1}(x_i) \) y prueba que  la partición cumple lo deseado.

Tengo esto por las sugerencias.
 
a)
Para cada \( \epsilon>0 \) existe \( n \) en los naturales talque \( \displaystyle\frac{1}{n}\leq{\epsilon} \)

Sea \( \left\{{x_0,\ldots,x_n}\right\} \) una particion del intervalo cerrado \( [0,1] \) talque \( x_j - x_j_-_1=\displaystyle\frac{1}{n} \) para \( 1\leq{j\leq{n}} \) y tomemos \( t_i=f^{-1}(x_i) \).

Entonces los \( t_i \)'s forman una particion del dominio de f, entonces

\( f(t_j_+_1^{-})-f(t_j)=\displaystyle\frac{1}{n}\leq{\epsilon} \)

por lo tanto la particion dada cumple lo pedido.

Pero una pregunta \( f^{-1}(x_i) \) es un solo elemento o un conjunto de elemento \( \omega \) talque \( f(\omega)=x_i \) y si es asi seria tomar las  \( f^{-1}(x_i) \)'s como mi particion para el dominio de mi  \( f \)


b)

 estamos seguros de que si \( |x-y|<\delta \) entonces \( x,y \) están en la unión de dos intervalos consecutivos de la partición.

No veo esta afirmacion del todo obvio y no veo para que servira de manera clara. A lo analisare mas profundamente y  si no lo veo a preguntare

Gracias!!!!!!

Saludos!!!!

[Luis Fuentes]

Hola

Pero una pregunta \( f^{-1}(x_i) \) es un solo elemento o un conjunto de elemento \( \omega \) talque \( f(\omega)=x_i \) y si es asi seria tomar las  \( f^{-1}(x_i) \)'s como mi particion para el dominio de mi  \( f \)

Buena observación. Podría haber vairas antiimágenes; pues bien elegimos una de ellas.

Por otra parte hay que tener un poco de cuidado. Con esta construcción podemos asegurar que:

\( f(t_j_+_1)-f(t_j)=\displaystyle\frac{1}{n}\leq{\epsilon} \)

pero no que:

\( f(t_j_+_1^{-})-f(t_j)=\displaystyle\frac{1}{n}\leq{\epsilon} \)

Lo que si podemos afirmar es que:

\( f(t_j_+_1^{-})-f(t_j)=\displaystyle\frac{2}{n}\leq{2\epsilon} \)

Que nos vale igual... (piensa porqué)

 b) Algo más de ayuda. Si tomas \( \delta=min\{t_{j+1}-t_j\} \) debe de ser claro que si \( |x-y|<\delta \), \( x,y \) están en la unión de dos intervalos consecutivos (puedene estar incluso en uno sólo de ellos).

 Si están en el mismo la distancia de sus imágenes comprueba que es inferior a \( \epsilon \).

 Si están en distintos pero consecuitvos comprueba que la distancia de sus imágenes es inferior a \( 2\epsilon \).

Saludos.

[liddokun]

Lo que si podemos afirmar es que:

\( f(t_j_+_1^{-})-f(t_j)=\displaystyle\frac{2}{n}\leq{2\epsilon} \)


 Si están en el mismo la distancia de sus imágenes comprueba que es inferior a \( \epsilon \).

 Si están en distintos pero consecuitvos comprueba que la distancia de sus imágenes es inferior a \( 2\epsilon \).

perdon por las molestias

Para  el a) no puedo ver la afirmacion dada \( f(t_j_+_1^{-})-f(t_j)=\displaystyle\frac{2}{n} \)

 a menos la funcion \( F \) no necesariamente sea continua pero no se me ocurre mas.

Para el b)

lo unico que no veo bien es que la diferencia me de si menor que \( \epsilon \) y cuando estan en consecutibos intervalos me da menor que \( 2\epsilo \)

ya que como \( f \) es continua tengo que \( f(x)=f(x^{-})=f(x^{+}) \)

y no veo como usarla.

Saludos!!!

[Luis Fuentes]

Hola

 a) Por la construcción que hemos hecho de la partición sabemos que dado \( \epsilon \) si tomamos \( \dfrac{1}{n}<\epsilon \) se cumple:

\(  f(t_k)=\dfrac{k}{n} \)

 Además por ser \( f \) monótona creciente nuestra partición es creciente.

 Entonces:

\(  f(t_{k+1}^-)=\displaystyle\lim_{t \to t_{k+1}^-}{}f(t) \)

 Tomamos el límite por tanto sobre puntos \( f(t) \) con \( t<t_{k+1} \) luego \( f(t)\leq f(t_{k+1})=\dfrac{k+1}{n} \)

 Es decir:

\( f(t_{k+1}^-)\leq \dfrac{k+1}{n} \)

 Entonces:

\(  f(t_{k+1}^-)-f(t_k)\leq \dfrac{k+1}{n}-\dfrac{k}{n}=\dfrac{1}{n}<\epsilon \)

 ¡Después de todo si salía la cota por \( \epsilon \) y no es necesario acotar por \( 2\epsilon \)!.

b) Tomando \( \delta=min\{t_{j+1}-t_j\} \), si \( |x-y|<\delta \), tenemos:

 - Si \( x,y\in [t_k,t_{k+1}] \) entonces por ser \( f \) monótona creciente:

\(  |f(x)-f(y)|\leq |f(t_{k+1})-f(t_k)|\leq \epsilon \)

 - Si \( x\in [t_k,t_{k+1}],y\in [t_{k+1},t_{k+2}] \) entonces por ser \( f \) monótona creciente:

\(  |f(x)-f(y)|\leq |f(t_{k+2})-f(t_k)|=\dfrac{2}{n}\leq 2\epsilon \)

 - Si \( x\in [t_k,t_{k+1}],y\in [t_{k+2},t_{k+3}] \) entonces:

\(  |x-y|\geq |t_{k+2}-t_{k+1}|\geq \delta \)

 IMPOSIBLE porque elegimos \( |x-y|<\delta \).

Saludos.