[Duhi23]

Hola necesito ayuda con la siguiente demostación:

Necesito probar las propiedades de la envolvente convexa \( Env() \):

\( 1.- \) Si \( C \) es convexa entonces \( Env(C)=C \).

\( 2.- \) La intersección arbitraria de conjuntos convexos es un conjunto convexo.
             \( Env(C)=\bigcap\limits_{D~convexo~y~ C\subseteq D} \)

Por otro lado, debo utilizar para la demostración las siguientes definiciones.

Se llama combinación convexa (c.c) de los puntos \( x_1,\ldots,x_p~\in \mathbb{R}^n \) al vector
             \( x=\lambda_1 x_1+\ldots\ldots+\lambda_p x_p \)
donde además
             \( \displaystyle\sum_{i=1}^\infty{\lambda_i}=1 \)
La envolvente convexa de \( C \) es el conjunto de todas las combinaciones convexas de subconjuntos finitos de \( C \).

Saludos.

[Fernando Revilla]

\( 1.- \) Si \( C \) es convexa entonces \( Env(C)=C \).

(i) \( Env(C)\subset{C} \).

Si \( x\in{Env(C)} \) entonces existen \( x_1,...,x_m \) elementos de \( C \) y \( \lambda_1,...,\lambda_m \) reales tales que:

\( x=\lambda_1 x_1+...+\lambda_m x_m\quad(\lambda_1+...+\lambda_m =1) \)

Dado que \( C \) en convexo, \( x\in{C} \)

(ii) \( C\subset{Env(C)} \).

Si \( x\in{C} \) entonces \( x=1x \) es decir, \( x \) es combinación lineal convexa de elementos (uno en este caso) de \( C \). Por tanto, \( x\in{Env(C)} \). 

\( 2.- \) La intersección arbitraria de conjuntos convexos es un conjunto convexo.
             \( Env(C)=\bigcap\limits_{D~convexo~y~ C\subseteq D} \)

Veamos si lo anterior te da la idea. Es sencillo.

Saludos.