[soyo]

Hola! Tengo el siguiente problema:

ABCD es un paralelogramo. Tomando AB, BC, CD y DA como lados se construyen cuadrados exteriores. ¿Qué figura determinan los centros de dichos cuadrados?
Sé que queda determinado un cuadrado pero no se cómo probarlo.
Gracias!

[aladan]

Hola

Analiticamente no es complicado probar que esa figura es un cuadrado, si es un poco largo. Situa el paralelogramo ABCD en el plano XY a partir del punto A(0,0), de forma que AD sobre el eje X, BC paralelo al eje X, AB y CD paralelos entre sí yformando un ángulo \( \alpha \) con el eje X.

Identifica los centros, PQRS de los cuadrados construidos sobre los lados como intersecciones de rectas sencillas de calcular y a partir de ahí prueba que las rectas definidas por ellos son dos a dos paralelas, PQ y RS, QR y PS, y dos a dos perpendiculares, PQ y QR, PS y RS.

Saludos

[soyo]

Gracias, pero no es una prueba de ese tipo la que necesito

[aladan]

Gracias, pero no es una prueba de ese tipo la que necesito

Que tipo de prueba necesitas?

[soyo]

Una que no tenga que calcular ecuaciones de rectas ni usar coordenadas.
Intenté adjuntar un dibujo en Geogebra pero no me salió, a ver si ahora queda...

[fiebreazul]

Es un cuadrado.

[jeremí]

Es fácil, te había escrito una prueba completa, pero se me ha borrado por un error cuando intentaba adjuntar el dibujo que había hecho.

Fijate en que \( \triangleleft{PDM}=\triangleleft{MDN}=\triangleleft{BDO}=\triangleleft{APO} \), se cumple por los criterios de congruencia. Lo único que te queda para que sea un quadrado es demostrar que los lados forman ángulos rectos, que son iguales ya está probado.

Ésto no te costará mucho si te fijas en este dibujo:

\( \angle APO=\angle DPM \)