[Jabato]

Estuve releyendo algo sobre la medida Hausdorff y me asaltó una duda, a ver si somos entre todos capces de despejarla. Se trata de lo siguiente, dicha medida se obtiene al considerar el valor:

\( H^s=\displaystyle\lim_{\delta \to 0}{}\inf\left\{\displaystyle\sum_{i=1}^\infty{|R_i|^s}\right\} \)

en la que \( \{R_i\} \) representa un \( \delta \)-recubrimiento numerable del conjunto a medir, \( U \), y s es un valor real cualquiera no negativo.

¿Llegaríamos a la misma conclusión si consideramos que:

\( H^s=\displaystyle\lim_{\delta \to 0}{}\inf\left\{\displaystyle\sum_{i=1}^\infty{|P_i|^s}\right\} \)

y \( \{P_i\} \) representa ahora una \( \delta \)-partición numerable de U? No cabe duda que este caso debe ser un caso particular del anterior puesto que una partición no es más que un caso minimal de recubrimiento, pero ... y si consideramos ahora el valor de:

\( \displaystyle\lim_{\delta \to 0}{}\sup\left\{\displaystyle\sum_{i=1}^\infty{|P_i|^s}\right\} \)

usando otra vez \( \delta \)-particiones numerables? ¿Obtendríamos también el mismo valor?

Basicamente la pregunta es si podemos afirmar que:

\( H^s=\displaystyle\lim_{\delta \to 0}{}\inf\left\{\displaystyle\sum_{i=1}^\infty{|R_i|^s}\right\}=\displaystyle\lim_{\delta \to 0}{}\inf\left\{\displaystyle\sum_{i=1}^\infty{|P_i|^s}\right\}=\displaystyle\lim_{\delta \to 0}{}\sup\left\{\displaystyle\sum_{i=1}^\infty{|P_i|^s}\right\} \)

Si tal igualdad fuera cierta, entonces podríamos afirmar sin lugar a dudas que:

\( H^s=\displaystyle\lim_{\delta \to 0}{}\displaystyle\sum_{i=1}^\infty{|P_i|^s} \)

lo que va a simplificar considerablemente los cálculos con dicha medida. La existencia de dicho límite es condición suficiente para que la igualdad anterior sea cierta, ahora bien, ¿para que conjuntos dicho límte no existe?, ¿existe siempre?, ¿que pasa con los conjuntos no medibles?.

En cualquier caso y aunque no pudiera afirmarse de forma general, no estoy muy seguro de ello, los conjuntos para los que existiera dicho límite serían un tipo especial de conjuntos dignos de gran consideración, por sus inestimables propiedades. Y ahora una última pregunta, ¿podrían identificarse dichos conjuntos con los conjuntos medibles?

En lo sucesivo denominaré a estos conjuntos como conjuntos sumables, y la pregunta del millón ahora sería entonces si los conceptos de conjunto sumable y de conjunto medible son equivalentes.

Saludos, Jabato.

[Jabato]

Desde luego una cosa si es cierta, siempre podemos encontrar una secuencia de particiones que satisfaga:

\( H^s=\displaystyle\lim_{\delta \to 0}{}\inf\left\{\displaystyle\sum_{i=1}^\infty{|R_i|^s}\right\}=\displaystyle\lim_{\delta \to 0}{}\inf\left\{\displaystyle\sum_{i=1}^\infty{|P_i|^s}\right\} \)

Falta confirmar solo la coincidencia de ese valor con el extremo superior de dicho límite para cualquier partición al hacer tender \( \delta \to 0 \)

Dado que el primero de los valores es único entonces dichos conjuntos, los sumables, quedarían caracterizados por ser su suma independiente de la familia de particiones que consideremos para llevar al límite la expresión:

\( \displaystyle\lim_{\delta \to 0}{}\displaystyle\sum_{i=1}^\infty{|P_i|^s} \)

expresión que se convierte así en una característica propia de estos conjuntos y que podemos asociar con su medida Hausdorff. Es decir, si un conjunto es sumable entonces es medible (Hausdorff) y su medida es igual a su suma. La que no puedo demostrar es la condición necesaria, es decir, si un conjunto es medible (Hausdorff), entonces deberá ser sumable.

Aunque si he de ser sincero no acabo de ver que sentido tiene ni que utilidad ó a donde conduce considerar como medible un conjunto que no fuera estrictamente sumable, para mi hubiera sido mucho más sencillo y práctico definir la medida de un conjunto como el valor de su suma dada por:

\( \mu(s)=\displaystyle\lim_{\delta \to 0}{}\displaystyle\sum_{i=1}^\infty{|P_i|^s} \)

y salir del atasco mucho más limpia y brillantemente, sin que la cosa hubiera tenido aparentemente consecuencias graves. Evidentemente la invarianza de dicho valor repecto de la serie de particiones utilizada para alcanzar el límite es la que determinaría la característica principal de los conjuntos medibles, lo que equipararía el concepto de medible al concepto de sumable, simplificando de este modo todo el desarrollo teórico posterior y facilitanto las aplicación de dicho criterio, que de otra forma resulta verdaderamente complejo.

Además vuelve a reproducirse el mismo fenómeno con los valores de \( s \), ya que existe siempre un valor frontera entre los valores que hacen que \( \mu(s) \) sea nula e infinita, dicho valor coincidirá en todos los casos con la dimensión de Hausdorff, y la medida, calculada para ese valor de \( s \), coincide entonces con la medida propiamente dicha del conjunto. Relegando entonces los conjuntos no medibles únicamente a los conjuntos no sumables (si es que los hay) ó a aquellos cuya dimensión Hausdorff es nula ó infinita, aunque en estos dos últimos casos bien podemos considerar que su medida es infinita ó nula respectivamente.

Saludos, Jabato.

[Jabato]

Y después de todo lo comentado, ya podemos establecer la pregunta con algo más de precisión y conocimiento, la pregunta sería ésta:

¿Existen conjuntos no sumables?, es decir, se trata de saber si existen conjuntos para los que no puede establecerse un valor de:

\( \mu(s)=\displaystyle\lim_{\delta \to 0}{}\displaystyle\sum_{i=1}^\infty{|P_i|^s} \)

y la única posibilidad de que esto ocurra es que existan dos valores distintos para:

\( \displaystyle\lim_{\delta \to 0}{}\inf\displaystyle\sum_{i=1}^\infty{|P_i|^s}\neq{}\displaystyle\lim_{\delta \to 0}{}\sup\displaystyle\sum_{i=1}^\infty{|P_i|^s} \)

y si existen esos dos valores puede demostrarse facilmente que existen infinitos valores posibles dependiendo de la sucesión de particiones elegida, al menos todos los posibles valores comprendidos entre el supremo y el ínfimo.

Personalmente creo que no es posible que esto suceda, aunque me falla la demostración, que no debería ser demasiado complicada, pero sinceramente no la veo.


Saludos Jabato.

[Jabato]

Hay aquí una cuestión interesante, veamos, si tenemos una función, f(x), definida en cada punto del conjunto a medir podemos obtener un valor integral de dicha función haciendo a suma:

\( F(s)=\displaystyle\lim_{\delta \to 0}{}\displaystyle\sum_{i=1}^\infty{f(x_i)|P_i|^s} \)

en la que \( f(x_i) \) representa el valor de la función en un punto cualquiera de la parte \( P_i \)

Saludos, Jabato.

[Jabato]

Pero aún podemos añadir alguna cuestión más. Dado que si existe un valor de s que haga que la suma de un conjunto, \( A \), sea finita, desde luego dicho valor es único, entonces podemos considerar como la medida de dicho conjunto al valor:

\( r=\displaystyle\frac{s}{n} \)             \( \mu(A)=\displaystyle\lim_{\delta \to 0}{}\displaystyle\sum_{i=1}^\infty{\mu^r(C_i)} \)

siendo entonces \( r \) la dimensión relativa de \( A \) en \( C \), \( n \) la dimensión topológica de \( C \), las \( C_i \) cada una de las \( \delta \)-particiones compactas de \( C \), que es a su vez el menor compacto que contiene a A.

Esto tiene una ventaja importantísima frente a la medida Hausdorff, y es que podemos medir cualquier conjunto usando una medida cualquiera, la que más nos guste, solo es necesario calcular el valor de \( s \) y medir las celdas compactas de C utilizando la medida que queramos y realizar a continuación la suma. Ello nos va a permitir medir los fractales usando la medida Lebesgue, ó cualquier otra, sin más que tener en cuenta cual es su verdadera dimensión, hecho que no debe plantear ningún problema en la mayoría de los casos y demuestra que los fractales presentan en general una medida, ni nula ni infinita, y acorde con la medida del resto de los conjuntos.

Saludos, Jabato.