[Jabato]

Hay además otra cuestión a la que estoy dándole vueltas y no acabo de aclarar, me explico, considerando el valor de \( \gamma \):

\( \gamma=\displaystyle\lim_{\quad p\to p_0}\ {\displaystyle\frac{d_g}{d_e}} \)

lo primero que se observa es que dicho límite no puede ser inferior a 1, habida cuenta de que \( d_g\geq{d_e} \) en primer lugar, y yo diría que solo existen tres posibilidades a saber:

\( \{1,\ \infty,\ \text{no existe}\} \)

aunque no estoy muy seguro de eso, el primer valor sería para los puntos lisos, el segundo valor sería para los puntos fractales y el tercer caso sería un punto aislado, es decir puntos tipo Polvo de Cantor. ¿Es posible determinar un conjunto para el que dicho límite exista, sea finito y mayor que 1?


Saludos, Jabato.

[Luis Fuentes]

Hola

Y sí, está correcto, pero no alcanza a rascar lo que me pica.
El ejemplo que has puesto es una unión de variedades de dimensión 1.
¿Y sin ese truquillo qué hay?

Si empiezas a poner muchas restricciones habrá que buscar ejemplos "monstruos". Esos son difíciles de encontar. 

Pero puse otro:

\( R\times Q\cup \{0\}\times R \)

Conjuntistamente es unión de variedades; pero topológicamente no, porque localemente ningún punto es una variedad.

En cuanto a la cuestión que plantea Jabato, prueba con la curva de ecuación:

\( (x(t),y(t))=(e^{-t}cos(t),e^{-t}sin(t)) \)

unión el cero.

Se tiene:

\( d_g((x(p),y(p)),(0,0))=\displaystyle\int_{p}^{+\infty}\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}dt= \)

\( =\sqrt{2}\displaystyle\int_{p}^{+\infty}e^{-t}dt=\sqrt{2}e^{-p} \)

\( d((x(p),y(p)),(0,0))=e^{-p} \)

El cociente es \( \sqrt{2} \). ¿Me equivoqué en las cuentas o he ahí un ejemplo?.

Saludos.

[Jabato]

Si, parece que la cuenta es correcta, si, el origen es un punto en el que \( \gamma=\sqrt[ ]{2} \). Bueno, un problema menos a dilucidar. Aunque el punto es un tanto peculiar, resulta ser el último punto de una espiral que no acaba nunca, que además coincide con el origen de coordenadas, el resto de los puntos de esa curva presentan \( \gamma=1 \). Aunque es cierto que es posible obtener valores finitos distintos de 1, sin duda.

Saludos, Jabato.

[Jabato]

Realmente el análisis de los posibles valores de este parámetro que me saqué de la manga está poniendo, creo, de manifiesto la gran diversidad de posibilidades que existen a la hora de definir un conjunto, ya que es posible obtener valores de \( \gamma \) muy diversos según distintas trayectorias de acercamiento a un determinado punto. La existencia de \( \gamma \) exigiría al menos que todas las trayectorias contenidas en C, concurrentes en un punto, presenten el mismo valor, finito ó infinito si quereis, pero un valor único. Por otro lado parece que los valores infinitos serían característicos de los fractales propiamente dichos pero la posibilidad de obtener valores finitos ó la inexistencia del límite en puntos inconexos hace que la variedad de puntos sea realmente ilimitada. Por lo tanto deduzco que el concepto de fractal es realmente complejo, bastante más complejo de lo que a primera vista pudiera pensarse, y desde luego mucho más complejo de lo que parece deducirse de la literatura existente hasta el momento sobre el particular.

Un conjunto en el que todos sus puntos reproduzcan un valor infinito de \( \gamma \) sería el concepto más aproximado de lo que debería ser un fractal, pero a la vista de las posibilidades puestas de manifiesto en este debate no me atrevo a realizar tal afirmación de forma categórica. Realmente el tema es muy complejo.

Saludos, Jabato.

[Jabato]

Para tratar de hacernos una idea de como deben ser las trayectorias en el entorno de un punto en función del valor de \( \gamma \) que presentan podemos usar el siguiente recurso, para un punto situado en el origen tenemos que:

\( d_e=\sqrt[ ]{x^2+y^2}=r \)             \( d_g=\displaystyle\int_{0}^{x}\sqrt[ ]{1+y'^2}dx=\displaystyle\int_{0}^{\theta}\sqrt[ ]{r'^2+r^2}d\theta \)

y al imponer la condición:

\( d_g=kd_e \)

y derivar respecto de \( \theta \) obtenemos:

\( \sqrt[ ]{r'^2+r^2}=kr'\qquad\longrightarrow{}\qquad r'=\displaystyle\frac{r}{\sqrt[ ]{k^2-1}}\qquad\longrightarrow{}\qquad r=Ce^{q\theta} \)

cuyas soluciones en el origen son en general espirales logarítmicas de paso variable con k, que se inician ó acaban muriendo en dicho punto. El caso extremo se obtiene para k = 1, en el que las espirales se convierten en rectas, aunque para poner de manifiesto este hecho es mejor realizar el cálculo en cartesianas y suponiendo el valor k = 1 desde el comienzo del desarrollo, aunque no lo haré aqui, por no ser redundante.

Resulta difícil imaginar de que forma pueden construirse fractales usando espirales logarítmicas (ó curvas que se aproximen a ellas), de manera que los valores más probables para el caso de conjuntos fractales serán 1 ó infinito, quedando descartado el primero por lo ya expuesto.

Sigue siendo por lo tanto la definición más verosimil para los fractales la de ser aquellos conjuntos para los que \( \gamma \) es infinito en todos los puntos (conjuntos conexos). Los conjuntos totalmente diconexos en los que no es posible encontrar trayectorias que unan dos puntos cualesquiera, tipo Polvo de Cantor pertenecen a una categoría muy distinta de conjuntos y quizás no fuera demasiado correcto agruparlos con los primeros bajo el nombre de fractales.

Saludos, Jabato.

[Jabato]

Hay tambien otra cuestión sobre la que merece la pena dar una llamada de atención. La única forma de que \( \gamma \) no exista en un determinado punto es que el punto sea aislado, es decir que no sea posible encontrar una trayectoria que lo una a otros puntos de C, ya que de otra forma \( d_g \) existirá siempre, \( d_e \) también y el límite de su cociente deberá existir, finito ó infinito, pero existirá.

Cabe aquí decir, por lo tanto, que parecen existir dos categorían distintas de fractales, los inconexos que estarán formados por puntos aislados y por lo tanto con valor de \( \gamma \) no definido, y los fractales propiamente dichos con \( \gamma=\infty \) ya descritos en anteriores párrafos. Teniendo por otro lado ademas todos aquellos conjuntos con valores finitos de \( \gamma \) que no consideraré incluidos en la categoría de fractales.

Saludos, Jabato.

[argentinator]

¿Y los fractales tipo Cantor?

Son totalmente disconexos y tienen muchos puntos que no están aislados.

[Jabato]

Perdona, pero yo diría que no es posible encontrar una trayectoria que una dos puntos del Polvo de Cantor, es cierto que en cualquiera de los conjuntos previos al límite si puede hacerse, pero no en el conjunto límite, el conjunto límite es un conjunto totalmente disconexo. Yo lo veo así.

Cualquier par de puntos pertenecientes a dicho conjunto, por muy próximos que estén, estan separados por un intervalo vacio, siempre es posible encontrar un punto intermedio que no pertenece a C y por lo tanto no es posible encontrar una trayectoria que los una.

Saludos, Jabato.

[argentinator]

Lo que pasa es que estabas hablando de puntos aislados... y en ese caso tampoco hay caminos conexos que se unan con el punto.

[Jabato]

No te entiendo argentinator. Vamos a ver, según lo veo yo, hagamos caso omiso de las trayectorias en que \( \gamma \) es finito. Las posibilidades que nos quedan son solo dos:

1ª El valor de \( \gamma \) es infinito, y por lo tanto el límite debe ser infinito para cualquier trayectoria posible, es decir cualquier trayectoria que una el punto considerado con otro de su entorno debe presentar longitud infinita.

2ª \( \gamma \) no existe y si no existe no puede existir ninguna trayectoria que una el punto con otro de su entorno, lo que obliga a que el punto considerado sea inconexo.

No existen más posibilidades, salvo que yo ande muy equivocado. En el caso de existir una trayectoria que de valor del límite finito es la tercera opción y en ese caso la trayectoria de menor valor del límite es la que genera el valor de \( \gamma \) que necesariamente será finito.

Saludos, Jabato.